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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mi 28.02.2007 | | Autor: | maxxen1 |
| Aufgabe | | Ermittle eine Stammfunktion F zu [mm] f(x):\bruch{x²}{x³-1} [/mm] |
bin zu zwei ergebnissen gekommen und wollte Fragen ob beide richtig sind:
[mm] 1):\bruch{1}{3}\integral_{}^{}{\bruch{3x²}{x³-1} dx}
[/mm]
hier habe ich den Zähler verändert und komme zu dem Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{3}ln|x³-1| [/mm] (ohne die Integrationskonstante)
2) [mm] \bruch{1}{3}\integral_{}^{}{\bruch{x²}{\bruch{1}{3}x³-\bruch{1}{3}} dx}
[/mm]
Hier habe ich den Nenner verändert und algebraisch müsste doch eigentlich alles richtig sein
jetzt wurde daraus das zweite ergebnis:
[mm] \bruch{1}{3}ln|\bruch{1}{3}x³-\bruch{1}{3}|
[/mm]
vielen Dank für die Aufmerksamkeit
Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, maxxen,
> Ermittle eine Stammfunktion F zu [mm]f(x):\bruch{x²}{x³-1}[/mm]
> bin zu zwei ergebnissen gekommen und wollte Fragen ob
> beide richtig sind:
>
> [mm]1):\bruch{1}{3}\integral_{}^{}{\bruch{3x²}{x³-1} dx}[/mm]
>
> hier habe ich den Zähler verändert und komme zu dem
> Ergebnis:
>
> [mm]\bruch{1}{3}ln|x³-1|[/mm] (ohne die Integrationskonstante)
Grade die INTEGRATIONSKONSTANTE ist hier entscheidend! Wart's mal ab:
> 2)
> [mm]\bruch{1}{3}\integral_{}^{}{\bruch{x²}{\bruch{1}{3}x³-\bruch{1}{3}} dx}[/mm]
>
> Hier habe ich den Nenner verändert und algebraisch müsste
> doch eigentlich alles richtig sein
> jetzt wurde daraus das zweite ergebnis:
>
> [mm]\bruch{1}{3}ln|\bruch{1}{3}x³-\bruch{1}{3}|[/mm]
So, das wird nun umgeformt:
= [mm] \bruch{1}{3}ln|\bruch{1}{3}(x³-1)|
[/mm]
Logarithmengesetze: ln(a*b) = ln(a) + ln(b), daher:
... = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (ln(\bruch{1}{3}) [/mm] + ln|x³-1|)
= [mm] \bruch{1}{3}*ln(\bruch{1}{3}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*ln|x³-1)|
[/mm]
Bedeutet: Deine beiden Ergebnisse unterscheiden sich nur durch eine (wenn auch recht seltsame) additive KONSTANTE.
Da alle Stammfunktionen sich untereinander durch additive Konstanten unterscheiden, sind Deine beiden Ergebnisse richtig - aber eben nur unter Einbeziehung der Integrationskonstanten!
Ergo: Vergiss die Integrationskonstante nicht!!!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mi 28.02.2007 | | Autor: | maxxen1 |
Logisch aber leider kann ich mir dies schlecht vorstellen, denn wäre dieses Integral bestimmt, würde ich aus
der gleichen Funktion zwei verschiedene Ergebnisse erhalten, was ja eigentlich unsinn ist, denn die aufgespannte Fläche
die die Funktion mit der x-Achse bildet ist nicht veränderlich.
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Hi, maxxen,
> Logisch aber leider kann ich mir dies schlecht vorstellen,
> denn wäre dieses Integral bestimmt, würde ich aus
> der gleichen Funktion zwei verschiedene Ergebnisse
> erhalten, was ja eigentlich unsinn ist, denn die
> aufgespannte Fläche
> die die Funktion mit der x-Achse bildet ist nicht
> veränderlich.
Stimmt nicht!
Pass auf:
Du hast Stammfunktion Nr. 1, sagen wir F(x).
Nun hast Du ein bestimmtes Integral berechnet und kriegst:
[mm] [F(x)]_{a}^{b} [/mm] = F(b) - F(a)
Nun nimmst Du Stammfunktion Nr. 2: [mm] F_{2}(x) [/mm] = F(x) + c
Dann kriegst Du diesmal beim bestimmten Integral:
[mm] [F_{2}(x)]_{a}^{b} [/mm] = [F(x) + [mm] c]_{a}^{b} [/mm]
= (F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) + c - F(a) - c
= F(b) - F(a),
also: genau dasselbe!!!
Merke: Beim bestimmten Integral ist es gleichgültig, welche der vielen Stammfunktionen einer Funktion f man benutzt!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Mi 28.02.2007 | | Autor: | maxxen1 |
Danke, du hast mir damit sehr weitergeholfen
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