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Logarithmische Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Aufgabe
Berechnen Sie mittels logarithmischer Integration eine Stammfunktion von f.
a) f(x)= [mm] \bruch{2x}{x^2 +3} [/mm]
b) f(x)= [mm] \bruch{6}{3x-9} [/mm]
c) f(x)= [mm] \bruch{x^3 + x}{x^4 +2x^2} [/mm]
f) f(x)= [mm] \bruch{e^x +e^{-x}}{e^x - e^{-x}} [/mm]

Hallo,

meine Lösungen sind:
a) [mm] (ln(x^2 [/mm] +3)) + C
b) (ln(3x-9)) +3
c) [mm] (ln(x^4 +2x^2) [/mm] *4
f) (ln(x*lnx)) + C

Sind die Lösungen richtig? Bei c) und f) habe ich Zweifel... Vielen Dank!

        
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Logarithmische Integration: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Mo 20.01.2014
Autor: Loddar

Hallo leasarfati!


[lehrer] Grundsätzlich kannst Du doch selber die Proben durchführen, indem Du Deine Ergebnisse wieder ableitest.
Dann sollten die Ausgangsfunktionen wieder herauskommen.


> a) [mm](ln(x^2[/mm] +3)) + C

[ok]


> b) (ln(3x-9)) +3

[notok] Wie kommst Du auf $+3_$ ?
Integrationskonstante!


> c) [mm](ln(x^4 +2x^2)[/mm] *4

[notok] Der Faktor $4_$ ist falsch.
Integraionskonstante!


> f) (ln(x*lnx)) + C

[notok] Das musst Du mir mal schrittweise vorrechnen, wie Du auf dieses abenteuerliche Ergbenis kommst.
Das hat ja gar nichts mehr mit der Ausgangsfunktion zu tun.


Gruß
Loddar

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Logarithmische Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Kommt bei b) dann nur das raus?: (ln(3x-9))+C
und bei c) [mm] ln(x^4 [/mm] + [mm] 2x^2) [/mm] +C ??? Ich weiß nicht so genau, wie man das ausrechnet.

Zu f): Ich dachte, dass man bei dem Integrieren solcher Brüche nur den Nenner berücksichtigen muss? Also dann nur (ln(x*lnx))... Aber so richtig mit den Formeln bin ich mir nicht sicher...???

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Logarithmische Integration: Ratestunde?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Mo 20.01.2014
Autor: Loddar

Hallo!


> Kommt bei b) dann nur das raus?: (ln(3x-9))+C

[notok] Mache die Probe!


> und bei c) [mm]ln(x^4[/mm] + [mm]2x^2)[/mm] +C ??? Ich weiß nicht so genau,
> wie man das ausrechnet.

[eek] Und wie hast Du die oben genannten Ergebnisse erhalten?
Gewürfelt?


> Zu f): Ich dachte, dass man bei dem Integrieren solcher
> Brüche nur den Nenner berücksichtigen muss?

Das ist grob formuliert der richtige Weg.


> Also dann nur (ln(x*lnx))...

Und wo bitte ist dieser Term im Nenner?
Reden wir etwa über unterschiedliche Aufgaben?


Gruß
Loddar

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Logarithmische Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Ehrlich gesagt, dachte ich, dass ich bei den Aufgaben b), c) und f) wie bei a) das machen muss... Ich weiß aber immer noch nicht, wie man solche Funktionen integrieren kann:( Kann ich vielleicht bei b) die Funktion als Produkt umschreiben und dann partielle Integration anwenden?

Umgeschrieben sieht b) dann bei mir so aus: [mm] \integral(6)*(3x-9)^{-1} [/mm] kann man das so machen oder muss ich das anders rechnen??

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Logarithmische Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Mo 20.01.2014
Autor: leduart

Hallo
die Integrale beruhen darauf dass [mm] (ln(f(x)))'=\bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] ist.
bei b etwa xt $ [mm] f(x)=\bruch{6}{3x-9} [/mm] $ steht im Zähler 2* die Ableitung des Nenners.
du hast also  unter dem Integral [mm] 2*\bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm]
das Integral ist also 2*ln(f)+C
bei c steht im Zähler 1/4*f'  (f der Nenner.
bei f) dagegen steht im Z genau die Ableitung des Nenners.
also schrib alle deine fkt so um, dass da  a*f'/f steht, dann ist a*lnf  eine Stammfunktion.
Solange man unsicher ist, sollte man immer differenzieren, was man beim Integrieren erhalten hat, dann muß man nicht soviel nachfragen.
Gruß leduart


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Logarithmische Integration: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:24 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Danke, b) und c) verstehe ich jetzt, aber das verstehe ich nicht:

>  bei f) dagegen steht im Z genau die Ableitung des
> Nenners.
>  also schrib alle deine fkt so um, dass da  a*f'/f steht,
> dann ist a*lnf  eine Stammfunktion.

Wenn ich x*lnx ableite, kommt lnx+1 raus und nicht 1!

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Logarithmische Integration: Aufgaben-Chaos
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mo 20.01.2014
Autor: Loddar

Hallo!


> Wenn ich x*lnx ableite,

Warum willst Du [mm] $x*\ln(x)$ [/mm] ableiten?
Das ist gar nicht Bestandteil der Aufgabe.


Gruß
Loddar

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