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Logarithmische Differentiation: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Mi 29.12.2004
Autor: cpfd

Hallo,

ich grübele schon einige Zeit an der folgenden Aufgabe.

f(x) =   E^SIN(X)

Ich habe versucht die Aufgabe mittels Logarithmische Differentiation zu lösen

LN (f(x)) =  LN ( E^SIN(X)) = SIN((X) * LN(E)

Dann die Produktregel auf den rechten Teil angewendet

[mm] \bruch{1}{y} [/mm] * y' = COS(x) * LN(E) + SIN(X) * 1

Dann folgt

y' = E^SIN(X) * (COS(X) * LN(E) + SIN(X))

aber das ist nicht richtig und ich weiss einfach nicht warum. Die richtige Lösung ist

e^SIN(X) *COS(X)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
        
Bezug
Logarithmische Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Mi 29.12.2004
Autor: Fabian

Hallo cpfd

du mußt die Funktion mit der Kettenregel ableiten.

[mm] f(x)=e^{sinx}=e^{u} [/mm]      mit u=sin(x)

Beide Funktionen (äußere und innere) sind elementar differenzierbar. Die Kettenregel liefert dann ( äußere Ableitung mal innere Ableitung) :

y'= [mm] \bruch{dy}{dx}= \bruch{dy}{du}\* \bruch{du}{dx}=e^{u}\*cos(x) [/mm]

Durch Rücksubstitution ( u=sinx )erhälst du:

[mm] y'=e^{sinx}\*cosx [/mm]

Alles klar?

Gruß Fabian
Bezug
        
Bezug
Logarithmische Differentiation: Auch Dein Weg geht ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Mi 29.12.2004
Autor: Loddar

Hallo cpfd,

[willkommenmr] !!!

$f(x) = y = [mm] e^{sin(x)}$ [/mm]

Auch auf Deinem gewählten Weg gelangt man zum Ziel ...

> Ich habe versucht die Aufgabe mittels Logarithmische
> Differentiation zu lösen
>  
> LN (f(x)) =  LN ( E^SIN(X)) = SIN(X) * LN(E)

[ok] Bis hierher OK.
Aber Du kannst hier extrem vereinfachen.
Denn es gilt: ln(e) = 1.
Damit verbleibt: ln(y) = sin(x)


> Dann die Produktregel auf den rechten Teil angewendet
>  
> [mm]\bruch{1}{y} * y' = cos(x) * ln(e) + sin(x) * 1[/mm]

[notok] Und hier liegt der Hund begraben!!
Wie oben geschrieben ist ln(e) = 1 = const.
Die Ableitung lautet also: [ln(e)]' = 0.

[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{1}{y} [/mm] * y' = cos(x) * 1 + sin(x) * 0 = cos(x)$

Somit erhältst Du auch Deine gewünschte Lösung:
$y' = cos(x) * [mm] e^{sin(x)}$ [/mm]


Grüße Loddar

Bezug
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