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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mi 08.12.2004 | | Autor: | semmel |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht verstehe, weil ich nicht weiß, was der erweiterteLogarithmus sein soll:
Man soll Beweisen, dass der erweiterte natürliche Logarithmus
Log:[0, [mm] \infty] \to \IR \cup [/mm] { [mm] \pm \infty},
[/mm]
[mm] $Log(x)=\begin{cases} log(x), & \mbox{für }0
stetig ist. Kann man hier die Eigenschaft benützen von Teilintervallen? Wie zeigt man für alle drei, dass f stetig ist?
Stetig ist doch nur ein Graph, der monoton wächst oder?
Ich danke für eine schlaue Antwort 
semmel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Semmel,
> Hallo,
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> ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht verstehe, weil
> ich nicht weiß, was der erweiterteLogarithmus sein soll:
> Man soll Beweisen, dass der erweiterte natürliche
> Logarithmus
> [mm]Log:[0, \infty] \to \IR \cup\{\pm \infty\}[/mm]
>
>
> [mm]Log(x)=\begin{cases} log(x), & \mbox{für }0
>
>
> stetig ist. Kann man hier die Eigenschaft benützen von
> Teilintervallen?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ? Da musst du schon präzisieren, was du meinst...
> Wie zeigt man für alle drei, dass f stetig
> ist?
> Stetig ist doch nur ein Graph, der monoton wächst oder?
Wie bitte? Überdenke bitte nochmal den Sinn deines letzten Satzes (er hat nämlich keinen; zumindest sehe ich keinen.Und wenn ich versuchen würde, den Satz sinnvoll zu interpretieren, wäre er hochgradig falsch!)...
Zu deiner Aufgabe:
Unkritisch ist die Stetigkeit von $Log$ eingeschränkt auf [mm] $(0,\infty)$, [/mm] denn das ist ja gerade der stetige $log$, also ist $Log$ eingeschränkt auf [m](0;\infty)[/m] stetig.
Dann überlege:
Was ist denn
1.) [mm] $\lim_{x \to \infty}log(x)$?
[/mm]
2.) [mm] $\lim_{x \to 0^+}log(x)$?
[/mm]
Warum folgt daraus die Stetigkeit von $Log$?
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Do 09.12.2004 | | Autor: | semmel |
Hi,
ich hab mal ne Rückfrage. ich hab das getan, was du mir gesagt hast und zwar hab ich herausbekommen, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}log(x)= \infty [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}log(x)= -\infty [/mm] ist.
Kann ich daraus folgern, dass Log streng monoton steigend ist?
Im Skript steht ein satz drin, der sagt: Sei I= (a,b) [mm] \subseteq \IR [/mm] ein offenes Intervall und f: I [mm] \to \IR [/mm] streng monoton steigend, dann ist [mm] f^{-1}: [/mm] f[I] [mm] \to [/mm] I stetig.
Kann man den Satz anwenden? Dann wäre doch f die exp-fkt. und [mm] f^{-1} [/mm] die log-fkt oder? dann würde es reichen, zu zeigen, dass exp streng mon. steigend ist.
danke
semmel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Do 09.12.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Wenn der Satz so drinsteht, dann kannst du ihn nicht anwenden.
Warum? Das hier ist ein "Wenn A, dann B" - Satz, also eine Aussage der Form [mm]A \Rightarrow B[/mm].
Und wenn der Satz so dasteht, dann ist er i.a. nicht umkehrbar, d.h. es gilt i.a. nicht [mm]B \Rightarrow A[/mm].
Etwas anders wäre es, wenn der Satz die Ausdrucksweise "genau dann, wenn" enthalten würde (in Zeichen: [mm] A \gdw B[/mm]). Dann wäre der Satz in beide Richtungen anwendbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo e.kandrai,
ich habe es eigentlich so verstanden, dass Semmel den Satz auf die (streng monoton wachsende) Funktion [m]exp:\IR \to (0,\infty)[/m], $x [mm] \mapsto [/mm] exp(x)$ anwenden wollte (so ganz sicher bin ich mir da nicht; ihre Rückfrage ist sehr verwirrend formuliert). (Ich denke, die Idee wäre dann gewesen, [mm] $\IR$ [/mm] durch offene Intervalle auszuschöpfen.)
Dann hätte man nämlich die Stetigkeit von $log$, da $log$ die Umkehrfkt. zu $exp$ ist.
(Ich bin übrigens einfach mal davon ausgegangen, dass Semmel weiß, dass $log$ stetig ist.)
So, das ganze ist jetzt nur grob formuliert; ich denke, du weißt, wie ich das meine, oder?
Aber der Satz ist, so wie er formuliert wurde, hier dennoch nicht anwendbar (sofern ich mich hier nicht irre).
Liebe Grüße,
Marcel
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Falls du nicht als bekannt voraussetzen darfst, dass [mm]log(x)[/mm] str.mon.stg. ist, dann wende am besten das hier an, um es zu zeigen:
[mm]x_1>x_2[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]f(x_1)>f(x_2)[/mm].
Fang am besten mit der rechten Seite an, und wende dann die Eigenschaften der log-Funktion an.
Und dann musst du nur noch die Erweiterungen der log-Funktion beachten, um nachzuweisen, dass auch deine Log-Funktion str.mon.stg. ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Achso noch eines:
> Hi,
> ich hab mal ne Rückfrage. ich hab das getan, was du mir
> gesagt hast und zwar hab ich herausbekommen, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}log(x)= \infty[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}log(x)= -\infty[/mm] ist.
>
> Kann ich daraus folgern, dass Log streng monoton steigend
> ist?
> Im Skript steht ein satz drin, der sagt: Sei I= (a,b)
> [mm]\subseteq \IR[/mm] ein offenes Intervall und f: I [mm]\to \IR[/mm]
> streng monoton steigend, dann ist [mm]f^{-1}:[/mm] f[I] [mm]\to[/mm] I
> stetig.
> Kann man den Satz anwenden? Dann wäre doch f die exp-fkt.
> und [mm]f^{-1}[/mm] die log-fkt oder? dann würde es reichen, zu
> zeigen, dass exp streng mon. steigend ist.
Dann müßtest du aber insbesondere zeigen, dass die erweiterte Exponentialfunktion
[mm] $Exp:[-\infty,\infty] \to [0,\infty]$,[/mm] [m]Exp(x)=\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{für } x=-\infty \\ exp(x), & \mbox{für } x \in (0,\infty) \\
\infty & \mbox{für } x=\infty \end{matrix}[/m] stetig ist und dass die Umkehrfunktion davon $Log$ ist. Wäre ja nochmal genausoviel Arbeit...
Der Ansatz geht auch deshalb schon nicht, weil [mm] $[-\infty,\infty]$ [/mm] ja gar kein offenes Intervall in [mm] $\IR$ [/mm] ist. D.h. der Satz ist so nicht anwendbar für [m]Exp[/m].
Gruß, Marcel
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