Lösungsmenge von LGS < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:11 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Dixiklo |
| Aufgabe | Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems mit m Unbekannten ist stets ein Unterraum von [mm] K^m.
[/mm]
a) Zeige umgekehrt dass jeder Unterraum U von [mm] K^m [/mm] die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist, indem du mit Hilfe des Fortsetzungssatzes eine lin. Abb. F mit kerf = U suchst!
b)Gib ein homogenes LGS an das U als Lösungsmenge besitzt:
[mm] [\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ -1},\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}] [/mm] = [mm] U\subset \IR^4 [/mm] |
Hallo!
Das ist ein Beispiel meiner linalg HÜ für diese Woche, alle anderen habe ich schon selber lösen können, nur bei diesem stehe ich an!
Würd mich freuen wenn mir jemand das Ergebnis, oder eine Anleitung dazu mitteilen könnte! Außerdem weiß ich nicht was genau der Fortsetzungssatz ist!
Vielen Dank Dixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mo 08.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu a) Ist [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_l [/mm] eine Basis von U , so kannst Du diese Basis zu einer Basis des [mm] K^m [/mm] ergänzen, etwa durch [mm] y_{l+1}, [/mm] .., [mm] y_m
[/mm]
kannst Du nun eine lineare Abb [mm] F:K^m \to K^m [/mm] angeben mit ker(F) = U ?
b) ist eine Anwendung von a)
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Dixiklo |
also ich versuchs mal so.
Angenommen ich gehe vom nullvektor aus:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2}
[/mm]
dann würde ich als Lösung : [mm] \pmat{ x1 & x2 \\ 0 & x2 \\ x1 & x2 \\ -x1 & x2 } [/mm] erhalten... naja damit kann ich auch noch immer nicht anfangen!
hilfe, ich fürcht ich habs noch immer nicht verstanden ;-(
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Wenn du willst, dass deine lineare Abbildung [mm]A[/mm] den Kern [mm]\left\langle \vektor{1\\0\\1\\-1},\vektor{1\\1\\1\\1}\right\rangle=U[/mm] hat, dann muss [mm]Av=0[/mm] sein für alle [mm]v\in U[/mm]. Also suchst du eine Basis, die orthogonal zu den Elementen von [mm]U[/mm] ist. Nimm fürs erste [mm]\vektor{-1\\0\\1\\0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\ -2\\1\\1}[/mm]. Jetzt hat die Matrix [mm]\pmat{-1&0&1&0\\0&-2&1&1}[/mm] den Kern [mm]U[/mm].
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