Lösungsmenge eines LGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Für einen beliebigen Körper K ist die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems in n Unbekannten ein Teilraum von [mm] K^n. [/mm] |
Hallo,
dazu habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
Sei L die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems. Ferner sei [mm] \vec{x}= \vektor{x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n} \in [/mm] L [mm] \in K^n [/mm] eine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems.
Dann ist die Lösungsmenge L ein Teilraum des [mm] K^n, [/mm] da für beliebige [mm] \vec{x}, \vec{y} \in [/mm] L und a [mm] \in [/mm] K gilt:
[mm] \vec{x}+\vec{y}= \vektor{x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n} [/mm] + [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ . \\ . \\ . \\ y_n} [/mm] = [mm] \vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n+y_n} \in K^n [/mm] (Abgeschlossenheit der Addition)
und
[mm] a*\vec{x}=a*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n}=\vektor{a*x_1 \\ a*x_2 \\ . \\ . \\ . \\ a*x_n} \in K^n [/mm] (Abgeschlossenheit der Multiplikation mit einem Skalar)
Ist der Beweis damit vollständig?
Grüße,
Commotus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Commotus!
Dein Beweis macht leider keinen Sinn, denn du zeigst die Abgeschlossenheit in [mm] $\IK^n$ [/mm] (die ohnehin klar ist) und nicht in $L$.
Ich mache es mal vor:
Gegeben sei ein homogenes LGS $Ax=0$ und $L$ dessen Lösungsmenge.
Offenbar ist $0 [mm] \in \IK^n$ [/mm] ein Element von $L$, denn $A0=0$.
Seien $x, y [mm] \in [/mm] L$ und [mm] $\lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IK$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $A(\lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y) = [mm] \lambda [/mm] Ax + [mm] \mu [/mm] Ay = [mm] \lambda \cdot [/mm] 0 + [mm] \mu \cdot [/mm] 0 = 0$,
also auch:
[mm] $\lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y [mm] \in [/mm] L$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Vielen Dank für den Hinweis, doch haben wir bislang noch keine Matrix-Vektor-Multiplikation bzw. Matrix-Skalar-Multiplikation in der Vorlesung behandelt, weshalb ich deinen Beweis (wäre das der vollständige Beweis?!) doch so nicht übernehmen könnte, oder?!
Gruß,
Commotus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Do 19.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Hallo,
ich habe mal selbst eine etwas andere Lösung erstellt: Stimmt diese?
Sei L:= [mm] \{\vec{x} | \vec{x} \mbox{ löst das homogene LGS in n Unbekannten}\} [/mm] die Lösungsmenge eines homogenen LGS in n Unbekannten. Ferner sei [mm] \vec{x}= \vektor{x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n} \in [/mm] L eine Lösung des homogenen LGS. Dann ist die Lösungsmenge L ein Teilraum des [mm] K^n, [/mm] da für beliebige [mm] \vec{x} [/mm] , [mm] \vec{y} \in [/mm] L und a [mm] \in [/mm] K gilt:
[mm] \vec{x}+\vec{y}= \vektor{x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n}+\vektor{y_1 \\ y_2 \\ . \\ . \\ . \\ y_n}=\vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n+y_n}
[/mm]
[mm] \in [/mm] L, da die Summe zweier Lösungen eines homogenen LGS wiederum eine Lösung des homogenen LGS ist.
[mm] a*\vec{x}=a*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n}=\vektor{a*x_1 \\ a*x_2 \\ . \\ . \\ . \\a*x_n} \in [/mm] L, da das Produkt einer Lösung eines homogenen LGS wiederum eine Lösung des homogenen LGS ist.
Gruß,
Commotus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Damit hast du in Worten das formuliert, was zu zeigen ist. 
Ein Beweis ist das nicht.
Du müsstest dann schon die LGS tatsächlich addieren bzw. skalar multiplizieren um das nachzuweisen.
Vermutlich gibt der Tutor trotzdem alle Punkte, weil ihm die Aufgabe einfach zu blöd ist ohne Matrizenrechnung...
Liebe Grüße
stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Commotus!
Ja, das war ein vollständiger Beweis.
Es wäre im übrigen wünschenswert, wenn du in Zukunft nicht hier und zugleich im Matheplaneten Paralleldiskussionen führen würdest und dann jeweils die dort vorgestellten Lösungen wechselseitig als "deine" Lösungen verkaufst.
Liebe Grüße
Stefan
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