Lösungsmenge einer Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wie lautet jeweils zu der angegebenen Gleichung die Lösungsmenge für [mm]z \in \IC[/mm]?
[mm](1+z)^5 = (1-z)^5[/mm] |
Hallo!
Habe mal wieder ein Problem mit einer komplexen Gleichung.
Angefangen habe ich folgendermaßen:
[mm](1+z)^5 = (1-z)^5[/mm]
[mm](1+re^{i\phi})^5 = (1-re^{i\phi})^5[/mm]
Die 1 kann ich (oder denke ich zumindest) umschreiben in:
[mm]1 = 1*(1+i0) = 1*(cos(0)+isin(0)) = e^{i0} = e[/mm]
Dann habe ich ja:
[mm](e+re^{i\phi})^5 = (e-re^{i\phi})^5[/mm]
Danach war ich schon bisschen ratlos, habe dann einfach mal den rechten Term durch sich selbst dividiert, damit ich links zusammenfassen kann.
[mm]\bruch{(e+re^{i\phi})^5}{(e-re^{i\phi})^5} = 1[/mm]
[mm](\bruch{(e+re^{i\phi})}{(e-re^{i\phi})})^5 = 1[/mm]
Soweit richtig?
Weil hier weiß ich nicht, was ich mit den e machen soll. Normalerweise kann ich ja einfach schreiben:
[mm]\bruch{r_{1}}{r_{2}} * e^{i*(\phi_{1}-\phi_{2})}[/mm]
Aber das e stört dort.
Oder darf ich das e einfach addieren und subtrahieren?
Dann würde da sowas stehen wie:
[mm](\bruch{(r2e^{i\phi})}{(r(e-1)^{i\phi})})^5 = 1[/mm]
Wenn ich dann weiter auflöse, krieg ich zum Schluss folgendes raus:
[mm]\bruch{2}{e-1}*cos(2*\phi)+i*\bruch{2}{e-1}*sin(2*\phi)[/mm]
Und das passt irgendwie mit der gegebenen Lösung überhaupt nicht. Daher geh ich natürlich direkt von einen Fehler aus, den ich wohl irgendwie am Anfang mache, erkenne ihn aber nicht alleine.
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Hallo andynator,
das ist alles ein bisschen kraus.
> Wie lautet jeweils zu der angegebenen Gleichung die
> Lösungsmenge für [mm]z \in \IC[/mm]?
> [mm](1+z)^5 = (1-z)^5[/mm]
> Hallo!
> Habe mal wieder ein Problem mit einer komplexen
> Gleichung.
> Angefangen habe ich folgendermaßen:
>
> [mm](1+z)^5 = (1-z)^5[/mm]
> [mm](1+re^{i\phi})^5 = (1-re^{i\phi})^5[/mm]
Das sieht nicht nach einem vielversprechenden Ansatz aus...
> Die 1 kann ich (oder denke ich zumindest) umschreiben in:
> [mm]1 = 1*(1+i0) = 1*(cos(0)+isin(0)) = e^{i0} = e[/mm]
Wie praktisch. Damit hast Du gezeigt, dass 1=e ist. Das dürfte viele Exponentialrechnungen angenehm vereinfachen. Schade nur, dass man dann keinen Logarithmus mehr bilden kann. 
Tipp: [mm] i*0\not=1
[/mm]
> Dann habe
> ich ja:
> [mm](e+re^{i\phi})^5 = (e-re^{i\phi})^5[/mm]
>
> Danach war ich schon bisschen ratlos, habe dann einfach mal
> den rechten Term durch sich selbst dividiert, damit ich
> links zusammenfassen kann.
> [mm]\bruch{(e+re^{i\phi})^5}{(e-re^{i\phi})^5} = 1[/mm]
>
> [mm](\bruch{(e+re^{i\phi})}{(e-re^{i\phi})})^5 = 1[/mm]
>
> Soweit richtig?
> Weil hier weiß ich nicht, was ich mit den e machen soll.
> Normalerweise kann ich ja einfach schreiben:
> [mm]\bruch{r_{1}}{r_{2}} * e^{i*(\phi_{1}-\phi_{2})}[/mm]
> Aber das
> e stört dort.
>
> Oder darf ich das e einfach addieren und subtrahieren?
> Dann würde da sowas stehen wie:
> [mm](\bruch{(r2e^{i\phi})}{(r(e-1)^{i\phi})})^5 = 1[/mm]
Ich gehe gerade mal in einen schallgedäpften Raum.
_tapp_ _tapp_ _rums_
AAAAARGGHHH@$&%!!!!
_quietsch_ _tapp_ _tapp_
Äh, was tust Du da eigentlich?
Bloß weil die Zahlen komplex sind, gelten die alten Rechengesetze aber trotzdem weiter.
> Wenn ich
> dann weiter auflöse, krieg ich zum Schluss folgendes
> raus:
> [mm]\bruch{2}{e-1}*cos(2*\phi)+i*\bruch{2}{e-1}*sin(2*\phi)[/mm]
> Und das passt irgendwie mit der gegebenen Lösung
> überhaupt nicht.
Oh, das glaube ich sofort...
> Daher geh ich natürlich direkt von einen
> Fehler aus, den ich wohl irgendwie am Anfang mache, erkenne
> ihn aber nicht alleine.
Mit ein bisschen Nachdenken kann man sich hier viel Arbeit ersparen.
Damit [mm] (1+z)^5=(1-z)^5 [/mm] sein kann, muss auch |1+z|=|1-z| sein, und damit also z rein imaginär.
Außerdem kann man auch leicht ermitteln, dass aus [mm] (1+z)^5=(1-z)^5 [/mm] sofort folgt [mm] Im((1+z)^5)=0.
[/mm]
Unter Anwendung der binomischen Formel und durch Koeffizientenvergleich findet man dann für z=bi, dass [mm] b^5-10b^3+5b=0 [/mm] ist. Das hat fünf leicht zu ermittelnde Lösungen.
Jetzt bist Du dran.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Di 28.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie lautet jeweils zu der angegebenen Gleichung die
> Lösungsmenge für [mm]z \in \IC[/mm]?
> [mm](1+z)^5 = (1-z)^5[/mm]
machen wir's doch mal so:
Wenn die Gleichung
[mm] $$(1-z)^5=(1+z)^5$$
[/mm]
gilt, dann ist sicher $z [mm] \not=\pm [/mm] 1$ - und dann folgt aus $1-z [mm] \not=0$
[/mm]
auch [mm] $\overline{1-z} \not=0\,.$
[/mm]
Also ist die Gleichung äquivalent zu
[mm] $$\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^5=1$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \left(\frac{1+z}{1-z}*\frac{\overline{1-z}}{\overline{1-z}}\right)^5=1$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \left(\frac{1+z}{1-z}*\frac{1-\overline{z}}{1-\overline{z}}\right)^5=1\,.$$
[/mm]
Außerdem gilt [mm] $|c^5|=1 \gdw |c|^5=1 \gdw [/mm] |c|=1$ für jedes $c [mm] \in \IC\,,$
[/mm]
insbesondere für [mm] $c:=(1+z)/(1-z)\,.$
[/mm]
Sollte dann so ähnlich weitergehen wie von Reverend angedeutet - auch
seine Behauptung (etwa dass $z [mm] \in i*\IR$) [/mm] sollte sich folgern lassen.
P.S.
Bitte immer drauf achten, ob Du aus der Gleichung nur notwendige
Bedingungen folgerst, oder ob die auch hinreichend sind. Denn wenn
man irgendwann mal direkt eine notwendige Bedingung erkennt, so
kann es ja sein, dass am Ende die so charakterisierten [mm] $z\,$ [/mm] eine
zu große Menge darstellen. Man müßte dann prüfen, welche [mm] $z\,$
[/mm]
auch wirklich die Gleichung erfüllen.
P.P.S.
Du kannst auch probieren, so wie Du es tun wolltest, eine Polardarstellung
zu benutzen. Ich finde das nicht verkehrt - nur gilt in der Tat NICHT [mm] $e=1\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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