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| Aufgabe | Bestimme in Abhängigkeit von [mm] \alpha \in [/mm] R die Lösungsmenge des Systems:
[mm] \pmat{ 1x & -2y & +3z = 1 \\ 2x & +\alpha y &+6z = 6 \\ -x & +3y &+ (\alpha -3)z = 0 } [/mm] |
Ich bin mir nicht sicher ob mein Ansatz der richtige ist ?! Ich hab folgende idee:
Das ganze per Gauß-Algorithmus in Zeilenstufenform bringen und dann die einzelnen Variablen berechnen:
Ich habe also folgende Schritte durchgeführt:
1. II - 2*I
2. III+I
Somit erhalte ich folgendes LGS
[mm] \pmat{ 1x & -2y & +3z = 1 \\0 & +\alpha y + 4y & +0 = 4 \\ 0 & +y &+ \alpha z = 0 }
[/mm]
Ich weiß jetzt jedoch nicht mehr weiter... könnte mir da jemand bitte einen Ansatz liefern ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 So 27.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Bestimme in Abhängigkeit von [mm]\alpha \in[/mm] R die
> Lösungsmenge des Systems:
>
> [mm]\pmat{ 1x & -2y & +3z = 1 \\
2x & +\alpha y &+6z = 6 \\
-x & +3y &+ (\alpha -3)z = 0 }[/mm]
>
> Ich bin mir nicht sicher ob mein Ansatz der richtige ist ?!
> Ich hab folgende idee:
>
> Das ganze per Gauß-Algorithmus in Zeilenstufenform bringen
> und dann die einzelnen Variablen berechnen:
>
> Ich habe also folgende Schritte durchgeführt:
> 1. II - 2*I
> 2. III+I
>
> Somit erhalte ich folgendes LGS
>
> [mm]\pmat{ 1x & -2y & +3z = 1 \\
0 & +\alpha y + 4y & +0 = 4 \\
0 & +y &+ \alpha z = 0 }[/mm]
>
> Ich weiß jetzt jedoch nicht mehr weiter... könnte mir da
> jemand bitte einen Ansatz liefern ?
Klammere in der zweiten Zeile, die ja die Gleichung ay+4y=4 ergibt, zuerst links y aus, und dann dividiere durch die Klammer. Damit hast du einen Wert für y. Mache aber auch eine Fallunterscheidung, dur musst den Fall, also den Wert für [mm] \alpha [/mm] gesondert betrachten, für den die Klammer Null wird.
Hast du dann y, kannst du über die dritte Zeile z berechnen, und damit dann über die erste Zeile x.
Marius
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hmm das dachte ich mir ehrlich gesagt auch, aber wenn ich das doch so rechne bekomme ich :
y= [mm] \bruch{4}{\alpha+4} [/mm] raus.
1.Fall:
[mm] \alpha [/mm] = -4 [mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert keine Lösung, da ja nicht durch Null geteilt werden darf
2.Fall
[mm] \alpha [/mm] ungleich -4 [mm] \Rightarrow [/mm] es existiert eine Lösung!
Wenn ich das aber jetzt in die dritte Gleichung einsetze erhalte ich:
z= [mm] (\bruch{4}{\alpha+4}) [/mm] / [mm] {\alpha} [/mm] nur das ist ist ja dann ein widerspruch zur obigen Annahme ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 So 27.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> hmm das dachte ich mir ehrlich gesagt auch, aber wenn ich
> das doch so rechne bekomme ich :
>
> y= [mm]\bruch{4}{\alpha+4}[/mm] raus.
Korrekt
>
> 1.Fall:
>
> [mm]\alpha[/mm] = -4 [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert keine Lösung, da ja
> nicht durch Null geteilt werden darf
>
Vorsicht. Das kannst du, ohne das LGS für [mm] \alpha=-4 [/mm] mal durchzurechnen, so nicht einfach behaupten.
> 2.Fall
>
> [mm]\alpha[/mm] ungleich -4 [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert eine Lösung!
Ja.
>
> Wenn ich das aber jetzt in die dritte Gleichung einsetze
> erhalte ich:
>
> z= [mm](\bruch{4}{\alpha+4})durch{\alpha}[/mm] nur das ist ist ja
> dann ein widerspruch zur obigen Annahme ?!
Warum das?
Du bekommst:
[mm] $\frac{4}{\alpha+4}+\alpha [/mm] z=0$
[mm] $\Leftrightarrow\frac{4}{\alpha+4}=-\alpha [/mm] z$
[mm] $\Leftrightarrow\frac{-4}{(\alpha+4)\cdot\alpha}= [/mm] z$
Du musst hier noch den Fall [mm] \alpha=0 [/mm] gesondert betrachten.
Marius
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ja für [mm] \alpha=0 [/mm] exisitiert bei z ja wieder keine Lösung, da der Zähler ja dann wieder Null wird !
wenn ich das jetzt also in die I einsetze erhalte ich ja:
x - [mm] 2(\bruch{4}{(\alpha+4)}) [/mm] + [mm] 3(\bruch{-4}{(\alpha+4)*\alpha})=1
[/mm]
= [mm] x-(\bruch{8}{(\alpha+4)})+(\bruch{-12}{(\alpha+4)*\alpha})=1 [/mm] =
[mm] x=1+(\bruch{8}{(\alpha+4)})-(\bruch{-12}{(\alpha+4)*\alpha})
[/mm]
Jetzt muss ich doch hier aber auch wieder die Fälle unterscheiden oder recht das wenn ich das vorher gemacht habe ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 27.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> ja für [mm]\alpha=0[/mm] exisitiert bei z ja wieder keine Lösung,
> da der Zähler ja dann wieder Null wird !
Auch das kannst du, ohne das Gleichungssystem für den Fall [mm] \alpha=0 [/mm] durchzurechnen, nicht ohne weiteres behaupten. Sowohl für [mm] \allpha=-4 [/mm] als auch für [mm] \alpha=0 [/mm] könnte es sein, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Du kommst also um die beiden Betrachtungen nicht herum.
>
> wenn ich das jetzt also in die I einsetze erhalte ich ja:
>
> x - [mm]2(\bruch{4}{(\alpha+4)})[/mm] +
> [mm]3(\bruch{-4}{(\alpha+4)*\alpha})=1[/mm]
>
> =
> [mm]x-(\bruch{8}{(\alpha+4)})+(\bruch{-12}{(\alpha+4)*\alpha})=1[/mm]
> =
>
> [mm]x=1+(\bruch{8}{(\alpha+4)})-(\bruch{-12}{(\alpha+4)*\alpha})[/mm]
Das ist ok.
>
> Jetzt muss ich doch hier aber auch wieder die Fälle
> unterscheiden oder recht das wenn ich das vorher gemacht
> habe ?
>
Das reicht einmal, du musst aber noch konkret rechnen.
Es bleibt also dabei, dass du folgende beiden Systeme noch untersuchen musst:
$ [mm] \pmat{ 1x & -2y & +3z = 1 \\ 2x & 0 &+6z = 6 \\ -x & +3y &+ -3z = 0 } [/mm] $
sowie
$ [mm] \pmat{ 1x & -2y & +3z = 1 \\ 2x & -4y &+6z = 6 \\ -x & +3y & -7z = 0 } [/mm] $
Marius
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Ah ok ! Das macht auch Sinn  Habe jetzt beide Lösungen berechnet:
1) x3=s ; x2=1 ; x1= 3-3s = also unendlich viele Lösungen ?!
2) existiert keine Lösungen
Daraus kann ich doch nun ableiten, dass für [mm] \alpha= [/mm] 0 eine Lösung exisitert und für alle anderen werte von [mm] \alpha [/mm] existiert keine Lösung!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 27.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ah ok ! Das macht auch Sinn Habe jetzt beide Lösungen
> berechnet:
>
> 1) x3=s ; x2=1 ; x1= 3-3s = also unendlich viele Lösungen
> ?!
> 2) existiert keine Lösungen
Das stimmt
>
>
> Daraus kann ich doch nun ableiten, dass für [mm]\alpha=[/mm] 0 eine
> Lösung exisitert und für alle anderen werte von [mm]\alpha[/mm]
> existiert keine Lösung!?
Dsa passt nicht.
Für [mm] \alpha=0 [/mm] existieren also unendlich viele Lösungen, für [mm] \alpha=-4 [/mm] keine, und für alle anderen Werte von [mm] \alpha [/mm] genau eine.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 So 27.01.2013 | | Autor: | SashA1111 |
Ok ! Danke für deine Hilfe ! Jetzt hab ich das endlich mal gecheckt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 So 27.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ok ! Danke für deine Hilfe ! Jetzt hab ich das endlich mal
> gecheckt
Schön.
Marius
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