Lösungsmenge der Gleichung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Definitionsbereich und berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] für x e R |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Definitionsbereich ist von 0 bis 1, da sonst die Wurzel einer negativen Zahl gezogen werden müsste, was ja nicht geht.
Mein Ansatz war jetzt, dass ich beide Seiten quadriere. Dann erhalte ich x-1-x = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Das ergibt ja leider keinen Sinn. Ich stehe im Moment leider total auf dem Schlauch, wie ich da weiter kommen soll. Würde mich über Hilfe sehr freuen.
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Hi,
> Bestimmen Sie den Definitionsbereich und berechnen Sie die
> Lösungsmenge der Gleichung
> [mm]\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{1-x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] für x e
> R
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Definitionsbereich ist von 0 bis 1, da sonst die Wurzel
> einer negativen Zahl gezogen werden müsste, was ja nicht
> geht.
Genau, [mm] x\in[0,1]
[/mm]
> Mein Ansatz war jetzt, dass ich beide Seiten quadriere.
> Dann erhalte ich x-1-x = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Das ergibt ja leider keinen Sinn. Ich stehe im Moment
> leider total auf dem Schlauch, wie ich da weiter kommen
> soll. Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Beim Quadrieren musst du beachten [mm] (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
[/mm]
Da fehlt bei dir also noch etwas 
Gruß
P.S: Der Thread ist im falschen Forum, könnte ihn bitte jemand verschieben? Danke!
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Ah ok, ich Depp. Dann komme ich auf:
x - [mm] 2*\wurzel{x} [/mm] * [mm] \wurzel{1-x}+1-x [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}=
[/mm]
[mm] -2*\wurzel{x} [/mm] * [mm] \wurzel{1-x}+1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Weiter weiss ich nicht mehr, wie ich auflösen soll. Am Ende komme ich auf eine quadratische Gleichung, bei der ich nix gescheites heraus bekomme.
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> Ah ok, ich Depp. Dann komme ich auf:
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> x - [mm]2*\wurzel{x}[/mm] * [mm]\wurzel{1-x}+1-x[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\Rightarrow[/mm]
> [mm]-2*\wurzel{x}[/mm] * [mm]\wurzel{1-x}+1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Weiter weiss ich nicht mehr, wie ich auflösen soll.
Den Wurzelausdruck auf der linken Seite isolieren, indem du die 1 nach links bringst und nochmal Quadrieren.
Gruß
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Ich weiss jetzt nicht genau was du meinst mit isolieren. Meinst du ausklammern? Im Moment komme ich einfach nicht weiter. Ich hab die Gleichung mal in Wolfram Alpha eingegeben und weiss jetzt, dass [mm] x=\bruch{1}{4}*(2+\wurzel{3}) [/mm] rauskommen soll. Könntest du mir den Ansatz mal hinschreiben, damit ich weiss, was genau ich tun soll? Vielen Dank im vorraus.
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Hallo,
beginnen wir noch einmal von Anfang an:
$ [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] (Quadrieren)
[mm] $x-2\wurzel{x}\wurzel{1-x}+(1-x)=\frac{1}{2}$ \gdw
[/mm]
[mm] $-2\wurzel{x}\wurzel{1-x}+1=\frac{1}{2}$ \gdw
[/mm]
[mm] $-2\wurzel{x}\wurzel{1-x}=\frac{-1}{2}$ \Rightarrow [/mm] (Quadrieren)
[mm] $4x(1-x)=\frac{1}{4}$ \gdw
[/mm]
[mm] $x^2-x+\frac{1}{16}=0$
[/mm]
Nun die Lösungsformel. Eine von den Lösungen fällt raus, da Scheinlösung nach dem Quadrieren.
Gruß
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Ach, dann war ich ja doch auf dem richtigen Weg, denn [mm] x=\bruch{1}{4}*(2+\wurzel{3}) [/mm] hab ich auch raus.
Und dann die p-q-Formel anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Di 22.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ach, dann war ich ja doch auf dem richtigen Weg, denn
> [mm]x=\bruch{1}{4}*(2+\wurzel{3})[/mm] hab ich auch raus.
>
> Und dann die p-q-Formel anwenden?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Di 22.02.2011 | | Autor: | hans-itor |
Alles klar. Vielen Dank. Im Moment raucht mir etwas der Kopf :) Werde dann später die Aufgabe nochmal durchgehen. Aber dann scheint es für mich ja jetzt klar zu sein.
Ich danke Dir vielmals.
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Was mich jetzt nur wundert: Wenn ich diese Gleichung bei Wolfram Alpha eingebe, kommt das raus: [mm] x=\bruch{1}{4}*(2+\wurzel{3})=0,933
[/mm]
Wenn ich die Gleichung auflöse erhalte ich folgende quadratische Gleichung: [mm] x^2-x+\bruch{1}{16}=0 [/mm] wenn ich bei dieser die p-q-Formel anwende komme ich auf ein Ergebnis von 0,938. Also schon eine Abweichung, obwohl ich keine Rundungsfehler gemacht habe. Gibt es da eine Erklärung für?
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> Was mich jetzt nur wundert: Wenn ich diese Gleichung bei
> Wolfram Alpha eingebe, kommt das raus:
> [mm]x=\bruch{1}{4}*(2+\wurzel{3})=0,933[/mm]
>
> Wenn ich die Gleichung auflöse erhalte ich folgende
> quadratische Gleichung: [mm]x^2-x+\bruch{1}{16}=0[/mm] wenn ich bei
> dieser die p-q-Formel anwende komme ich auf ein Ergebnis
> von 0,938. Also schon eine Abweichung, obwohl ich keine
> Rundungsfehler gemacht habe. Gibt es da eine Erklärung
> für?
Es muss sich um einen Rundungsfehler handeln, denn die 'größere' Nullstelle von deiner quadratischen Gleichung ist ebenfalls [mm] \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{16}}=\bruch{1}{4}*(2+\wurzel{3})
[/mm]
Gruß
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Hmmm, ok. Wie hast du das ausgerechnet? Denn deine Antwort würde mir auch besser gefallen, als mein Dezimalbruch.
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Hi,
ganz regulär mit Lösungsformel:
[mm] x^2+px+q=0 \Rightarrow x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}
[/mm]
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Mi 23.02.2011 | | Autor: | hans-itor |
Ah ok, vielen Dank. Ich hab meinen Fehler gefunden. Hab mich irgendwie bei den Vorzeichen mal wieder verhaspelt. Immer diese blöden Flüchtigkeitsfehler. Die sollte ich mir mal so langsam abgewöhnen.
Vielen Dank nochmal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Mi 23.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Bestimmen Sie den Definitionsbereich und berechnen Sie die
> Lösungsmenge der Gleichung
> [mm]\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{1-x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] für x e
> R
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Definitionsbereich ist von 0 bis 1, da sonst die Wurzel
> einer negativen Zahl gezogen werden müsste, was ja nicht
> geht.
> Mein Ansatz war jetzt, dass ich beide Seiten quadriere.
> Dann erhalte ich x-1-x = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Das ergibt ja leider keinen Sinn. Ich stehe im Moment
> leider total auf dem Schlauch, wie ich da weiter kommen
> soll. Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Wenn eine Lösung in [mm] \IR [/mm] gesucht ist, muss man die Definitionsmenge auf [0,1] einschränken. Da mit Quadrieren die Gleichung umgeformt werden soll, muss [mm] x\ge1/2 [/mm] gelten, da sonst die linke Seite negativ wird, was per se nicht sein kann, da rechts etwas Positives steht. Substituiert man x=p+1/2 und sucht eine Lösung für [mm] p\in [/mm] [0,1/2] so ergibt sich nach Quadrieren [mm] 1-2\wurzel{1/4-p^2}=1/2 [/mm] oder [mm] p=\wurzel{3}/4 [/mm] was dann [mm] x=1/2+\wurzel{3}/4 [/mm] ergibt.
LG
gfm
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