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Forum "Lineare Abbildungen" - Lösungsmenge bestimmen
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Lösungsmenge bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Mo 31.01.2011
Autor: kioto

Aufgabe
gegeben seien:

[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 12 & 12 \\ 4 & 5 & 2 & 17 & \\ 1 & 3 & 6 & 4 } \in \IR^{4x4} [/mm]

b [mm] =\vektor{10 \\ 34 \\ 28 \\ 14} \in \IR^{4} [/mm]

nach umformung auf zsf habe ich

A|b = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 4|6 \\ 0 & -3 & -10 & 1|-12 \\ 0 & 0 & -1 & 1|0 } [/mm]

dann habe ich
-x3 + x4 = 0
x3=x4

in II eingesetzt
x2=-4 - 3x3

in I eingesetzt

-x3=x1

ist dann mein L(A,b) = [mm] {\vektor{0 \\ -4 \\ 0 \\ 0} +t\vektor{-1 \\ -3 \\ 1 \\ 1}} [/mm]

stimmt das?

        
Bezug
Lösungsmenge bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mo 31.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,


> gegeben seien:
>  
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 12 & 12 \\ 4 & 5 & 2 & 17 & \\ 1 & 3 & 6 & 4 } \in \IR^{4x4}[/mm]
>  
> b [mm]=\vektor{10 \\ 34 \\ 28 \\ 14} \in \IR^{4}[/mm]
>  nach
> umformung auf zsf habe ich
>  
> A|b = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 4|6 \\ 0 & -3 & -10 & 1|-12 \\ 0 & 0 & -1 & 1|0 }[/mm]

Ja, aber wieso lässt die Nullzeile weg??

Das ist so, wie du es schreibst, nicht [mm] $A\mid [/mm] b$ ...

>  
> dann habe ich
> -x3 + x4 = 0
>  x3=x4 [ok]
>  
> in II eingesetzt
>  x2=-4 - 3x3 [notok]

Da stimmt ein Vorzeichen nicht, da sollte [mm] $x_2=\red{+}4-3x_3$ [/mm] herauskommen ...

>  
> in I eingesetzt
>  
> -x3=x1 [kopfkratz3]

Nee, das passt nicht, rechne nochmal nach (oder vor!)

Ich komme auf [mm] $x_1=2-x_3$ [/mm]


>  
> ist dann mein L(A,b) = [mm]{\vektor{0 \\ -4 \\ 0 \\ 0} +t\vektor{-1 \\ -3 \\ 1 \\ 1}}[/mm]
>  
> stimmt das?

Nicht ganz ...

Gruß
schachuzipus
>  

Bezug
                
Bezug
Lösungsmenge bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Mo 31.01.2011
Autor: kioto

hallo schachuzipus,

> -x3 + x4 = 0
>  >  x3=x4 [ok]
>  >  
> > in II eingesetzt
>  >  x2=-4 - 3x3 [notok]
>  
> Da stimmt ein Vorzeichen nicht, da sollte [mm]x_2=\red{+}4-3x_3[/mm]
> herauskommen ...

stimmt! ich hatte da was übersehen

> >  

> > in I eingesetzt
>  >  
> > -x3=x1 [kopfkratz3]
>  
> Nee, das passt nicht, rechne nochmal nach (oder vor!)
>  
> Ich komme auf [mm]x_1=2-x_3[/mm]

das habe ich dann auch raus

ist jetzt mein L(A,b) = [mm] {\vektor{2 \\ 4 \\ 0 \\ 0} +t\vektor{-1 \\ -3 \\ 1 \\ 1}} [/mm] ?

stimmts jetzt?

in der lösung steht aber

[mm] {\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} +t\vektor{-1 \\ -3 \\ 1 \\ 1}} [/mm] ?
Bezug
                        
Bezug
Lösungsmenge bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Mo 31.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> hallo schachuzipus,
>  
> > -x3 + x4 = 0
>  >  >  x3=x4 [ok]
>  >  >  
> > > in II eingesetzt
>  >  >  x2=-4 - 3x3 [notok]
>  >  
> > Da stimmt ein Vorzeichen nicht, da sollte [mm]x_2=\red{+}4-3x_3[/mm]
> > herauskommen ...
>  stimmt! ich hatte da was übersehen
>  
> > >  

> > > in I eingesetzt
>  >  >  
> > > -x3=x1 [kopfkratz3]
>  >  
> > Nee, das passt nicht, rechne nochmal nach (oder vor!)
>  >  
> > Ich komme auf [mm]x_1=2-x_3[/mm]
>  
> das habe ich dann auch raus
>
> ist jetzt mein L(A,b) = [mm]\red{\left\{}{\vektor{2 \\ 4 \\ 0 \\ 0} +t\vektor{-1 \\ -3 \\ 1 \\ 1}}\red{\mid t\in\IR \right\}}[/mm]  [daumenhoch]

Fehlten die Klammern!

> ?
>  
> stimmts jetzt?
>  
> in der lösung steht aber
>
> [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} +t\vektor{-1 \\ -3 \\ 1 \\ 1}}[/mm] ?

Dann ist entweder die Musterlösung falsch oder du hast dich bei der Eingabe der Aufgabenstellung vertippt. Stimmt denn der Vektor $b$ so, wie er oben steht?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Lösungsmenge bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Mo 31.01.2011
Autor: kioto

hallo,

hab nochmal verglichen,  meine angabe ist genau so wie auf dem blatt steht.

in der lösung steht auch dass das (1,1,1,1) geraten ist, aber mit A multipliziert  b ergibt, was ja stimmt. kann man das so machen oder ist es einfach falsch?

kioto
Bezug
                                        
Bezug
Lösungsmenge bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Mo 31.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> hallo,
>  
> hab nochmal verglichen,  meine angabe ist genau so wie auf
> dem blatt steht.
>  
> in der lösung steht auch dass das (1,1,1,1) geraten ist,

Da hatte aber einer einen Scharfblick [lupe]

> aber mit A multipliziert  b ergibt, was ja stimmt. kann man
> das so machen oder ist es einfach falsch?

Nein, ist auch richtig.


Die Lösungsmenge eines inhom. LGS bildet einen affinen Unterraum und setzt sich zusammen aus einer partikulären Lösung des inhomog. LGS und der Lösungsgesamtheit des zugeh. homogenen LGS.

Es genügt, eine spezielle (partikuläre) Lösung des inhomogenen Systems zu bestimmen, sei es durch Raten oder systemat. Lösen, wie du es gemacht hast.

Dass dein Vektor [mm] $\vektor{2\\4\\0\\0}$ [/mm] auch eine spezielle Lösung des inhom. Systems ist, kannst du auch schnell nachrechnen ...


>  
> kioto

Gruß

schachuzipus

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