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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Lösungsmenge + kompl. Ebene
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Lösungsmenge + kompl. Ebene: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:49 Mo 16.01.2012
Autor: al3pou

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen in [mm] \IC [/mm] und skizzieren Sie diese in der komplexen Ebene:

(a) z + [mm] \overline{z} [/mm] = 6
(b) z - [mm] \overline{z} [/mm] = 6i
(c) z [mm] \overline{z} [/mm] - z + [mm] \overline{z} [/mm] = 1

Guten Morgen,

Ich habe nicht wirklich eine Idee, wie ich da vorgehe. Schreibe ich erstmal z = a + ib?
Dann hätte ich bei (a) ja schonmal

  a + ib + a - ib = 6
[mm] \gdw [/mm] 2a = 6
[mm] \gdw [/mm] a = 3

Was ja heißen würde das die Gleichung für alle komplexen Zahlen erfüllt ist,
deren Re z = 3 ist. Also [mm] \IL [/mm] = {z [mm] \in \IC [/mm] | Re z = 3}.

Also das klingt irgendwie richtig, aber bin mir weder bei der Schreibweise für die
Lösungsmenge sicher noch bei der Rechnung. Kann mir einer weiterhelfen?

Gruß
al3pou

        
Bezug
Lösungsmenge + kompl. Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Mo 16.01.2012
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen
> in [mm]\IC[/mm] und skizzieren Sie diese in der komplexen Ebene:
>  
> (a) z + [mm]\overline{z}[/mm] = 6
>  (b) z - [mm]\overline{z}[/mm] = 6i
>  (c) z [mm]\overline{z}[/mm] - z + [mm]\overline{z}[/mm] = 1
>  Guten Morgen,
>  
> Ich habe nicht wirklich eine Idee, wie ich da vorgehe.
> Schreibe ich erstmal z = a + ib?
> Dann hätte ich bei (a) ja schonmal
>  
> a + ib + a - ib = 6
>   [mm]\gdw[/mm] 2a = 6
> [mm]\gdw[/mm] a = 3
>  
> Was ja heißen würde das die Gleichung für alle komplexen
> Zahlen erfüllt ist,
> deren Re z = 3 ist. Also [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= {z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

| Re z = 3}.

>  
> Also das klingt irgendwie richtig, aber bin mir weder bei
> der Schreibweise für die
> Lösungsmenge sicher noch bei der Rechnung. Kann mir einer
> weiterhelfen?

Dir muß keiner weiterhelfen, Du hast alles richtig gemacht.

FRED

>  
> Gruß
>  al3pou


Bezug
                
Bezug
Lösungsmenge + kompl. Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:55 Mo 16.01.2012
Autor: al3pou

Das ist ja schön :) und für die Zeichnung wäre das einfach eine senkrechte Grade auf der "x" - Achse bei 3?

Gruß
al3pou

Bezug
                        
Bezug
Lösungsmenge + kompl. Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 Mo 16.01.2012
Autor: fred97


> Das ist ja schön :) und für die Zeichnung wäre das
> einfach eine senkrechte Grade auf der "x" - Achse bei 3?

Ja

FRED

>  
> Gruß
> al3pou


Bezug
        
Bezug
Lösungsmenge + kompl. Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:15 Mo 16.01.2012
Autor: al3pou

Alles klar. Dann habe ich (a) und (b) richtig, aber bei (c) hänge ich fest.

   z [mm] \overline{z} [/mm]  - z + [mm] \overline{z} [/mm] = 1

wieder ist z = a + ib

[mm] \Rightarrow [/mm] (a + ib)(a - ib) - (a + ib) + (a - ib) = 1
[mm] \gdw a^{2} [/mm] - [mm] i^{2}b^{2} [/mm] - a - ib + a - ib = 1
[mm] \gdw a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] - 2 ib = 1

und wie machen ich nun weiter? Mache ich nen Koeffizientenvergleich? Also

   I  - 2ib = 1
   II [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] = 0

Gruß

al3pou

Bezug
                
Bezug
Lösungsmenge + kompl. Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Mo 16.01.2012
Autor: fred97


> Alles klar. Dann habe ich (a) und (b) richtig, aber bei (c)
> hänge ich fest.
>  
> z [mm]\overline{z}[/mm]  - z + [mm]\overline{z}[/mm] = 1
>  
> wieder ist z = a + ib
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a + ib)(a - ib) - (a + ib) + (a - ib) = 1
>  [mm]\gdw a^{2}[/mm] - [mm]i^{2}b^{2}[/mm] - a - ib + a - ib = 1
>  [mm]\gdw a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm] - 2 ib = 1
>
> und wie machen ich nun weiter? Mache ich nen
> Koeffizientenvergleich? Also
>  
> I  - 2ib = 1
> II [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm] = 0

Andersrum: es ist

-2b=0

[mm] a^2+b^2=1 [/mm]

FRED

>  
> Gruß
>  
> al3pou


Bezug
                        
Bezug
Lösungsmenge + kompl. Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:41 Mo 16.01.2012
Autor: al3pou

Warum lasse ich in der ersten Gleichung die imaginäre Einheit weg?

Gruß
al3pou

Bezug
                                
Bezug
Lösungsmenge + kompl. Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:46 Mo 16.01.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Warum lasse ich in der ersten Gleichung die imaginäre
> Einheit weg?

auf der rechten Seite der Gleichung steht mit der 1 eine reelle Zahl...

Gruß, Diophant


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