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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lösungen für LGS berechnen
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Lösungen für LGS berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Di 22.05.2012
Autor: Myth

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen des LGS

[mm] \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 2 & 12 & 7 \\ 1 & 10 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_\text{1} \\ x_\text{2} \\ x_\text{3} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 12t \\ 12t+7s \\ 7t+8s \end{pmatrix} [/mm]

in Abhängigkeit von s,t [mm] \in \IR. [/mm]

Also lautet das Gleichungssystem:

[mm]2x_\text{1} + 4x_\text{2} + 2x_\text{3} = 12t[/mm]
[mm]2x_\text{1} + 12x_\text{2} + 7x_\text{3} = 12t+7s[/mm]
[mm] x_\text{1} + 10x_\text{2} + 6x_\text{3} = 7t+8s[/mm]

Umformen mit Gauß:

[mm] \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2\\ 2 & 12 & 7\\ 1 & 10 & 6 \end{vmatrix} \begin{matrix} 12t\\ 12t+7s\\ 7t+8s \end{matrix} [/mm]

führt zu:

[mm] \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 8 & 5\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} 6t\\ 7s\\ t+s \end{matrix} [/mm]

Dann habe ich mein neues LGS:

[mm]x_\text{1} + 2x_\text{2} + x_\text{3} = 6t[/mm]
[mm]8x_\text{2} + 5x_\text{3} = 7s[/mm]
[mm]0 = t+s[/mm]

Somit habe ich ein unterbestimmtes Gleichungssystem, also 3 Unbekannte in 2 Gleichungen. Wie gehe ich hier vor?

Gruß Myth



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lösungen für LGS berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Di 22.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Myth,

> Bestimmen Sie alle Lösungen des LGS
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 2 & 12 & 7 \\ 1 & 10 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_\text{1} \\ x_\text{2} \\ x_\text{3} \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 12t \\ 12t+7s \\ 7t+8s \end{pmatrix}[/mm]
>  
> in Abhängigkeit von s,t [mm]\in \IR.[/mm]
>  Also lautet das
> Gleichungssystem:
>  
> [mm]2x_\text{1} + 4x_\text{2} + 2x_\text{3} = 12t[/mm]
>  
> [mm]2x_\text{1} + 12x_\text{2} + 7x_\text{3} = 12t+7s[/mm]
>  
> [mm]x_\text{1} + 10x_\text{2} + 6x_\text{3} = 7t+8s[/mm]
>  
> Umformen mit Gauß:
>  
> [mm]\begin{vmatrix} 2 & 4 & 2\\ 2 & 12 & 7\\ 1 & 10 & 6 \end{vmatrix} \begin{matrix} 12t\\ 12t+7s\\ 7t+8s \end{matrix}[/mm]
>  
> führt zu:
>  
> [mm]\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 8 & 5\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} 6t\\ 7s\\ t+s \end{matrix}[/mm]
>  
> Dann habe ich mein neues LGS:
>  
> [mm]x_\text{1} + 2x_\text{2} + x_\text{3} = 6t[/mm]
>  [mm]8x_\text{2} + 5x_\text{3} = 7s[/mm]
>  
> [mm]0 = t+s[/mm]
>  
> Somit habe ich ein unterbestimmtes Gleichungssystem, also 3
> Unbekannte in 2 Gleichungen. Wie gehe ich hier vor?
>  


Zunächst ist die 3. Gleichung zu lösen.
Setze dies dann in die ersten beiden Gleichungen ein.

Eine Variable kannst Du freiwählen.
Forme dann nach nach übriggebliebenen Variablen um.


> Gruß Myth
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lösungen für LGS berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Di 22.05.2012
Autor: Myth

Ok, dann löse ich die III nach [mm] x_\text{3} [/mm] und die II nach [mm] x_\text{2} [/mm] auf:

[mm] x_\text{3} [/mm] = [mm] \frac{7t+8s-x_\text{1}-10x_\text{2}}{6} [/mm]
[mm] x_\text{2} [/mm] = [mm] \frac{23t-14s-5x_\text{1}}{2} [/mm]

[mm] x_\text{2} [/mm] in [mm] x_\text{3} [/mm] eingesetzt:

[mm] x_\text{3} [/mm] = [mm] 13s-18t+4x_\text{1} [/mm]

Wenn ich jetzt beides in [mm] x_\text{1} [/mm] einsetze, bekomme ich [mm]s+t = 0[/mm], oder muss ich vorher für [mm] x_\text{1} [/mm] einfach irgendeinen Wert (z.B. 5) aussuchen?

Gruß Myth

Bezug
                        
Bezug
Lösungen für LGS berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Di 22.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Myth,

> Ok, dann löse ich die III nach [mm]x_\text{3}[/mm] und die II nach
> [mm]x_\text{2}[/mm] auf:
>  
> [mm]x_\text{3}[/mm] = [mm]\frac{7t+8s-x_\text{1}-10x_\text{2}}{6}[/mm]
>  [mm]x_\text{2}[/mm] = [mm]\frac{23t-14s-5x_\text{1}}{2}[/mm]
>  
> [mm]x_\text{2}[/mm] in [mm]x_\text{3}[/mm] eingesetzt:
>  
> [mm]x_\text{3}[/mm] = [mm]13s-18t+4x_\text{1}[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt beides in [mm]x_\text{1}[/mm] einsetze, bekomme ich
> [mm]s+t = 0[/mm], oder muss ich vorher für [mm]x_\text{1}[/mm] einfach
> irgendeinen Wert (z.B. 5) aussuchen?
>  


Jetzt mußt Du s bzw. t so wählen, daß s+t=0 ist.

Dann erhältst Du auch die endgültige Lösung.



> Gruß Myth


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Lösungen für LGS berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Di 22.05.2012
Autor: Myth

Kann ich dann wählen s=2, t=-2 oder muss ich dass allgemein machen ( s=s und t=-s), denn wenn ich für s und t konkrete Werte einsetze, ist doch die endgültige Lösung nicht mehr abhängig von s und t, wie es in der Aufgabe verlangt ist?!

Also mit s=2 und t=-2 wäre es:

[mm] x_\text{2} [/mm] = [mm] -37-\frac{5}{2}x_\text{1} [/mm]
[mm] x_\text{3} [/mm] = [mm] 62+4x_\text{1} [/mm]


Gruß Myth

Bezug
                                        
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Lösungen für LGS berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Di 22.05.2012
Autor: Steffi21

Hallo, du hattest doch

(1) [mm] x_1+2x_2+x_3=6t [/mm]
(2) [mm] 8x_2+5x_3=7s [/mm]
(3) 0=t+s

aus (3) folgt
t=-s

[mm] x_3=p [/mm] wobei p ein frei wählbarer Parameter ist

aus (2) folgt
[mm] 8x_2+5p=7s [/mm]
[mm] x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p [/mm]

aus (1) folgt
[mm] x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{5}{4}p+p=6t [/mm]

[mm] x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{1}{4}p=-6s [/mm]

[mm] x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p [/mm]

Steffi


Bezug
                                                
Bezug
Lösungen für LGS berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Di 22.05.2012
Autor: Myth


> Hallo, du hattest doch
>  
> (1) [mm]x_1+2x_2+x_3=6t[/mm]
>  (2) [mm]8x_2+5x_3=7s[/mm]
>  (3) 0=t+s
>  
> aus (3) folgt
> t=-s
>  
> [mm]x_3=p[/mm] wobei p ein frei wählbarer Parameter ist
>  
> aus (2) folgt
>  [mm]8x_2+5p=7s[/mm]
>  [mm]x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p[/mm]
>  
> aus (1) folgt
>  [mm]x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{5}{4}p+p=6t[/mm]
>  
> [mm]x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{1}{4}p=-6s[/mm]
>  
> [mm]x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p[/mm]
>  
> Steffi
>  

Ah vielen Dank, jetzt hab ich das mit dem frei wählbaren Parameter verstanden, hatten wir so in der Vorlesung nicht gemacht. Dann sind

[mm]x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p[/mm]
[mm]x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p[/mm]
[mm]x_3=p[/mm]

ALLE Lösungen mit p [mm] \in \IR, [/mm] nehm ich an?!

Gruß Myth

Bezug
                                                        
Bezug
Lösungen für LGS berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Di 22.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Myth,

> > Hallo, du hattest doch
>  >  
> > (1) [mm]x_1+2x_2+x_3=6t[/mm]
>  >  (2) [mm]8x_2+5x_3=7s[/mm]
>  >  (3) 0=t+s
>  >  
> > aus (3) folgt
> > t=-s
>  >  
> > [mm]x_3=p[/mm] wobei p ein frei wählbarer Parameter ist
>  >  
> > aus (2) folgt
>  >  [mm]8x_2+5p=7s[/mm]
>  >  [mm]x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p[/mm]
>  >  
> > aus (1) folgt
>  >  [mm]x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{5}{4}p+p=6t[/mm]
>  >  
> > [mm]x_1+\bruch{7}{4}s-\bruch{1}{4}p=-6s[/mm]
>  >  
> > [mm]x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p[/mm]
>  >  
> > Steffi
>  >  
>
> Ah vielen Dank, jetzt hab ich das mit dem frei wählbaren
> Parameter verstanden, hatten wir so in der Vorlesung nicht
> gemacht. Dann sind
>  
> [mm]x_1=-\bruch{31}{4}s+\bruch{1}{4}p[/mm]
>  [mm]x_2=\bruch{7}{8}s-\bruch{5}{8}p[/mm]
>  [mm]x_3=p[/mm]
>
> ALLE Lösungen mit p [mm]\in \IR,[/mm] nehm ich an?!
>  


Ja, und natürlich mit [mm]s \in \IR[/mm].


> Gruß Myth


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Lösungen für LGS berechnen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Di 22.05.2012
Autor: Myth

Alles klar, nochmals vielen Dank an MathePower und Steffi für die schnelle Hilfe!!!

Gruß Myth

Bezug
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