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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 14.05.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle z Element C, für die gilt [mm] z^{3}+8i=0 [/mm] |
Hallo,
wenn ich nicht völlig danebenliege, muss man das ja in Polarform bringen,
sprich z=r*(cos [mm] (\delta) [/mm] + i sin [mm] (\delta)) [/mm] (Kann man hier kein Phi schreiben?)
Wobei r = |z| mit [mm] |z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
Genau hier scheitere ich aber. Wie bestimme ich den Betrag?
Also was ist mein a und was mein b?
Nach z=a+i*b müsste ja [mm] a=z^{3} [/mm] und b=8 sein?
Aber in der Lösung kommt als |z|=2 raus, nur weiß ich nicht wie. Mir ist klar, dass 2 die dritte Wurzel aus 8 ist, aber wie muss ich das umformen, wie komme ich darauf?
Wenn ich die Gleichung umforme komme ich ja auf [mm] z^{3}=-8i [/mm] <=> z = [mm] \wurzel[3]{-8i}
[/mm]
Wie komme ich da aber auf die 2? Also was mache ich mit dem -i?
Vielen Dank vorab und einen schönen Abend
poeddl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 14.05.2013 | | Autor: | poeddl |
Ich hab hier jetzt mal die Lösung hochgeladen, denn ich verstehe im weiteren Verlauf nicht, wieso |z| erst 2 ist, später bei der Polarform dann aber 8?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Di 14.05.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo poeddl!
> ich verstehe im weiteren Verlauf nicht, wieso |z| erst 2 ist,
> später bei der Polarform dann aber 8?
Es gilt [mm] $\left|z^{\red{3}}\right| [/mm] \ = \ 8$ bzw. [mm] $\left|z\right| [/mm] \ = \ 2$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:16 Di 14.05.2013 | | Autor: | poeddl |
Jetzt habe ich hier noch ewig rumprobiert und mir die Frage eventuell schon selbst beantwortet...
Kann ich den Betrag nicht folgendermassen berechnen?
[mm] z^{3}+8i=0 [/mm] <=> [mm] z^{3}=-8i
[/mm]
mit [mm] |z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] folgt [mm] |z|=\wurzel{0^{2}+(-8)^{2}}=8
[/mm]
Mit der allgmeinen Formel folgt dann [mm] r^{\bruch{1}{n}}(cos(\bruch{\delta}{n})+i*sin(\bruch{\delta}{n})) [/mm] die erste Lösung. Die beiden weiteren folgen durch Addition von Vielfachen von [mm] k\pi
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Di 14.05.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo poeddl!
> Bestimmen sie alle z Element C, für die gilt [mm]z^{3}+8i=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> wenn ich nicht völlig danebenliege, muss man das ja in
> Polarform bringen,
> sprich z=r*(cos [mm](\delta)[/mm] + i sin [mm](\delta))[/mm] (Kann man hier
> kein Phi schreiben?)
Doch, [mm]\phi[/mm] (\phi) bzw. [mm]\varphi[/mm] (\varphi).
> Wobei r = |z| mit [mm]|z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm]
>
> Genau hier scheitere ich aber. Wie bestimme ich den
> Betrag?
> Also was ist mein a und was mein b?
> Nach z=a+i*b müsste ja [mm]a=z^{3}[/mm] und b=8 sein?
Nein, in dieser Form stehen a und b für reelle Zahlen, [mm]z^3[/mm] ist aber komplex.
> Aber in der Lösung kommt als |z|=2 raus, nur weiß ich
> nicht wie. Mir ist klar, dass 2 die dritte Wurzel aus 8
> ist, aber wie muss ich das umformen, wie komme ich darauf?
>
> Wenn ich die Gleichung umforme komme ich ja auf [mm]z^{3}=-8i[/mm]
> <=> z = [mm]\wurzel[3]{-8i}[/mm]
> Wie komme ich da aber auf die 2? Also was mache ich mit
> dem -i?
Auf die 2 kommst du, indem du die Beträge betrachtest: [mm]z^3=-8i\quad\Rightarrow\quad |z^3|=|-8i|=8\quad \Rightarrow\quad |z|=2[/mm].
In deiner (Muster-)Lösung ist ein Tippfehler. Weiter geht es mit [mm]\varphi:=\arg(z^3)=\frac 32 \pi[/mm].
Es folgt [mm]z^3=|z^3|*e^{i\varphi}[/mm] bzw. [mm]z=|z|*e^{i\frac \varphi 3}[/mm] (wobei zu [mm] $\varphi$ [/mm] noch vielfache von [mm] $2\pi$ [/mm] addiert werden können).
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 14.05.2013 | | Autor: | poeddl |
Kann ich den Betrag nicht auch folgendermassen berechnen?
Dann würde es sogar mit der Musterlösung übereinstimmen...
[mm] z^{3}+8i=0 [/mm] <=> [mm] z^{3}=-8i
[/mm]
mit [mm] |z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] folgt [mm] |z|=\wurzel{0^{2}+(-8)^{2}}=8
[/mm]
Mit der allgmeinen Formel folgt dann [mm] z_{0}=r^{\bruch{1}{n}}(cos(\bruch{\delta}{n})+i*sin(\bruch{\delta}{n})) [/mm] die erste Lösung. Die beiden weiteren folgen durch Addition von Vielfachen von [mm] k\pi
[/mm]
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> Kann ich den Betrag nicht auch folgendermassen berechnen?
> Dann würde es sogar mit der Musterlösung
> übereinstimmen...
>
> [mm]z^{3}+8i=0[/mm] <=> [mm]z^{3}=-8i[/mm]
>
> mit [mm]|z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] folgt
> [mm]|z|=\wurzel{0^{2}+(-8)^{2}}=8[/mm]
Hallo,
wie kommst Du darauf, daß z den Betrag 8 hat?
Es hat doch [mm] z^3 [/mm] den Betrag 8.
LG Angela
>
> Mit der allgmeinen Formel folgt dann
> [mm]z_{0}=r^{\bruch{1}{n}}(cos(\bruch{\delta}{n})+i*sin(\bruch{\delta}{n}))[/mm]
> die erste Lösung. Die beiden weiteren folgen durch
> Addition von Vielfachen von [mm]k\pi[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 14.05.2013 | | Autor: | poeddl |
Hm ok, jetzt, wo du es sagst...
Also ist die Polarform von [mm] z^{3}+8i [/mm] folgende:
[mm] 2(cos(\bruch{3}{2}\pi)+i*sin(\bruch{3}{2}\pi)) [/mm] ?
Und die beiden anderen Lösungen gibt es durch Aufaddieren von [mm] k\pi [/mm] k=0,1,2?
Ich versteh nur noch nicht, warum man das i im Betrag einfach weglässt.
Ganz kleinschrittig müsste das ja dann so lauten:
[mm] z^{3}=-8i<=>z=-2i
[/mm]
[mm] =>|z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}=\wurzel{0^{2}+2^{2}}=2
[/mm]
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 14.05.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Hm ok, jetzt, wo du es sagst...
> Also ist die Polarform von [mm]z^{3}+8i[/mm] folgende:
>
> [mm]2(cos(\bruch{3}{2}\pi)+i*sin(\bruch{3}{2}\pi))[/mm] ?
Nein, das ist die Polarform von [mm]z^3[/mm]
> Und die beiden anderen Lösungen gibt es durch Aufaddieren
> von [mm]k\pi[/mm] k=0,1,2?
Wohl eher mit [mm]\red{2}k\pi[/mm].
> Ich versteh nur noch nicht, warum man das i im Betrag
> einfach weglässt.
Es ist doch [mm]|i|=1[/mm], also ist [mm]|-8i|=|(-1)*8*i|=|-1|*|8|*|i|=1*8*1=8[/mm].
> Ganz kleinschrittig müsste das ja dann so lauten:
>
> [mm]z^{3}=-8i<=>z=-2i[/mm]
Das stimmt so nicht. Du rechnest ja [mm]z=\sqrt[3]{-8i}[/mm]. In den komplexen Zahlen gibt es i.A. drei dritte Wurzeln einer Zahl - eine davon ist [mm]\red{+}2i[/mm].
> [mm]=>|z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}=\wurzel{0^{2}+2^{2}}=2[/mm]
> Ist das so richtig?
Mit ein bisschen Argumentation kriegt man das auch so sauber hin, aber so wäre mir das zu wenig.
Warum lässt du dich denn nicht auf den Weg der Musterlösung ein? Also von [mm]|z^3|[/mm] auf [mm]|z|[/mm] schließen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Di 14.05.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
ich habe das gerade nochmal in Ruhe durchgerechnet mit allen Tipps, die ihr mir hier gegeben habt - VIELEN VIELEN DANK EUCH ALLEN! - und bin jetzt auch auf die Lösung gekommen.
Eigentlich war das gar nicht so schwer. Irgendwie hat mich das [mm] z^{3} [/mm] total durcheinander gebracht, keine Ahnung wieso...
Ich werd mir jetzt mal noch mehr solcher Aufgaben suchen und gucken, ob ich es wirklich verstanden habe.
Aber euch vielen Dank für eure Geduld und Ausdauer, ihr seid echt spitze!
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