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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Sa 14.02.2015 | | Autor: | Trikolon |
Hallo,
ich habe die DGL [mm] y'=\bruch{x^2+3y^2}{2xy} [/mm] gelöst. Dabei kommt man (nach der Substitution v=y/x) zu folgender Gleichung [mm] ln|v^2+1|=lnc+ln|x|. [/mm] Nun zu meiner Frage: Da ich ln(c) betrachte, muss ich ja c>0 annehmen.
Wie lautet dann meine Lösung?
y=+/- x [mm] \wurzel{cx-1}
[/mm]
oder
y=+/- x [mm] \wurzel{-cx-1} [/mm] und y=+/- x [mm] \wurzel{cx-1}
[/mm]
Also muss ich den Betrag so auflösen, da ich ja c>0 gesetzt habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 So 15.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich sehe im Moment zwei Wege, weiter zu kommen.
Der erste ist, dass Du Deine Rechnung vollständig präsentierst. Vielleicht enthält sie noch einen Fehler. Das führt zu zweiten Weg:
Es ist ein ganz pragmatischer Ansatz, die Lösung, mit ihren noch offenen Fragen, auszuprobieren. Also einfach einsetzen und nachrechnen, für welche Fälle de DGL gelöst wird.
Das habe ich probiert. Dabei habe ich aber keine Lösungsvariante gefunden, die passt. Das kann nun an einem Rechenfehler meinerseits liegen, die passieren mir leider öfters. Dennoch führte das zu dem Verdacht, dass beim Auffinden der Lösung etwas schief gegangen ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 So 15.02.2015 | | Autor: | Trikolon |
Also die loesung an sich stimmt, vergleiche Wolfram Alpha.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 So 15.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Nun habe ich meinen Rechenfehler gefunden.
Zum Vorgehen:
Die DGL schließt die Fälle x = 0 und y = 0 aus.
Zuerst einmal lasse ich alle Vorzeichenoptionen [mm] $\pm$ [/mm] weg.
Dann lautet die Lösungsidee: $y(x) = [mm] x\sqrt{cx-1}$.
[/mm]
Damit ergibt sich die Beschränkung cx > 1. Die Konstante c wird durch die Anfangsbedingung festgelegt. Ein Beispiel: da y(0) nicht möglich ist, setze ich zum Verständnis mal y(1) = 1. Dann müsste c = 2 sein. Damit ist der Definitionsbereich festgelegt: x muss größer als 0,5 sein.
Den Fall c < 0 erhält man für die Situation, dass x < 0 ist.
Also ergibt sich das Vorzeichen von c daraus, wie die Anfangsbedingung formuliert ist und zieht einen entsprechenden Definitionsbereich nach sich.
Das [mm] $\pm$ [/mm] bei $y(x) = [mm] \pm x\sqrt{cx-1}$ [/mm] gibt jeweils zwei Lösungen aus. Auch da muss man die Version wählen, die zu der Anfangsbedingung passt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 15.02.2015 | | Autor: | Trikolon |
Das ist ja soweit klar. Angenommen die Anfangsbedingung ist so gewählt, dass c <0 wird. Dann hat man ja ein Problem, da man zuvor ln(c) betrachtet hat und dadurch ja c> 0 setzen muss. Deshalb die frage nach der Fallunterscheidung im ersten Post.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 So 15.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Es zählt nur, was da am Ende steht. Das musst Du noch mal abklopfen. Das Geschehen unterwegs kannst Du getrost vergessen. Das sind Methoden, die einem helfen Funktionen zu finden, von denen man nachweist, dass sie Lösungen sind.
Wenn Du herausfinden willst, warum bei Dir nicht ln|c| erschienen ist, hilft nichts, als Deinen Rechenweg einzugeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 16.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> s.u.
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> Hallo,
> ich habe die DGL [mm]y'=\bruch{x^2+3y^2}{2xy}[/mm] gelöst. Dabei
> kommt man (nach der Substitution v=y/x) zu folgender
> Gleichung [mm]ln|v^2+1|=lnc+ln|x|.[/mm]
Ich erhalte nach Trennung der Variablen und Integration:
[mm] \ln(1+v^2)=\ln(|x|)+c.
[/mm]
FRED
> Nun zu meiner Frage: Da ich
> ln(c) betrachte, muss ich ja c>0 annehmen.
> Wie lautet dann meine Lösung?
> y=+/- x [mm]\wurzel{cx-1}[/mm]
> oder
> y=+/- x [mm]\wurzel{-cx-1}[/mm] und y=+/- x [mm]\wurzel{cx-1}[/mm]
>
> Also muss ich den Betrag so auflösen, da ich ja c>0
> gesetzt habe?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Mo 16.02.2015 | | Autor: | Trikolon |
Das entspricht ja meiner Lösung. Bei ln [mm] (v^2+1) [/mm] kann man natürlich den Betrag weg lassen, weil der ausdruck eh > 0 ist. Statt c habe ich eben ln (c) genommen, was ja auch erlaubt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Mo 16.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das entspricht ja meiner Lösung.
Nein.
>Bei ln [mm](v^2+1)[/mm] kann man
> natürlich den Betrag weg lassen, weil der ausdruck eh > 0
> ist.
Ja
> Statt c habe ich eben ln (c) genommen, was ja auch
> erlaubt ist.
Hä ? Wieso sollte das erlaubt sein ?
FRED
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Da machen wir immer so. Man kann auch 3c schreiben oder c/2. C steht ja nur für irgend eine Konstante. Die haben wir stets so gewählt, dass sich gut damit rechnen lässt. In solchen Fällen eben ln (c).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 18.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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