Lösung von GDL(Matrix) ber. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] M\in^{3x3}(\IR) [/mm] eine Matrix mit folgenden EIgenwerten und Eigenvektoren:
x1=1 mit [mm] phi1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, [/mm] x2=-1 mit [mm] phi2=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] und x3=0 mit [mm] phi3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Berechnen Sie die Lösung zu [mm] \vektor{x'(t) \\ y'(t) \\ z'(t)}=A\vektor{x(t) \\ y(t) \\ z(t)} [/mm] mit [mm] \vektor{x(0) \\ y(0) \\ z(0)}=\vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] |
Hallo!
Ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen und würde gern wissen, ob ich das richtig gemacht habe.
Meine Lösung:
Nach Vorlesung ist die Lösung [mm] x(t)=e^{At}x0. [/mm] SO, also muss man nun [mm] e^{At} [/mm] berechnen. Im Skript habe ich für Ähnlichkeitstransformationen eine Formel gefunden
[mm] A=TBT^{-1}, [/mm] wobei T die Matrix der Eigenvektoren ist, B die Matrix der Eigenwerte und [mm] T^{-1} [/mm] die Invertierte Matrix der Eigenvektoren.
In der Aufgabe ist alles gegeben, außer der Inversen
[mm] (\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 })^{-1}=\pmat{ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 } [/mm]
Habe ich berechnet, indem ich rechts an der Matrix die Einheitsmatris drangeschrieben habe und dann umgeformt habe, bis links die Einheitsmatrix stand
Dann muss man die 3 Matrizen multiplizieren
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }\pmat{ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm]
Und das muss man ja nur noch mit [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] multiplizieren.
Also ist meiner Meinung nach die Lösung [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0} [/mm]
Ist die Lösung richtig? Und wenn nicht, wo habe ich etwas falsch gemacht?
Ich bedanke mich für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Sa 01.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast ja selbst geschrieben, das die Lösung [mm] e^{A*t} [/mm] lautet. Zumindest muss also die Lösung von t abhängen. Deine Lösung ist ein konstanter Vektor, und der erfüllt die DGL bestimmt nicht, wie man durch eine leichte Probe bestätigen kann.
Richtig ist die Berechnung von [mm] A=T*B*T^{-1}. [/mm] Nun muss man [mm] e^{A*t} [/mm] berechnen. Am besten unter Ausnutzung der Potenzreihendarstellung für [mm] e^{A*t} [/mm] und der Tatsache das [mm] A=T*B*T^{-1} [/mm] ist.
Das Ergebniss ist eine 3x3 Matrix die die Expotentialfunktion enthält und von t abhängig ist.
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Verdammt...vielen Dank für deine Hilfe...irgendwie hab ich nicht nachgedacht, was ich mache und dann hätte mir klar werden sollen, dass das natürlich nicht das Ergebnis sein kann.
So, die Matrix, die ich ausgerechnet habe, dass ist sozusagen die Matrix, die in der Aufgabe verlangt ist.
Jetzt muss ich [mm] e^{At} [/mm] berechnen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 0 }\pmat{ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 }
[/mm]
Oder?
Die ersten beiden Matrizen multipliziert ergeben [mm] \pmat{ e^{t} & e^{-t} & 0 \\ e^{t} & -e^{-t} & 0 \\ e^{t} & e^{-t} & 0}
[/mm]
Du sagtest etwas von Potenzreihendarstellung von [mm] e^{tB}. [/mm] Ich habe hier die Formel dafür, doch ich weiß nicht, wie sie mir weiterhelfen soll. Sieht auf jeden Fall ziemlich verwirrend aus...
Kann ich die Matrix nicht einfach mit der rechten multiplizieren?
Für den ersten Eintrag würde ich [mm] 0.5(e^{t}+e^{-t}) [/mm] bekommen, was ja der Definition von Kosinus Hyperbolicus ist. Ist der erste Wert richtig und kann ich die weiteren Werte auch so ausrechnen?
Ich freue mich über jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Sa 01.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei der Matrix mit den Eigenwerten ist Dir ein Fehler unterlaufen.Es gilt [mm] e^{0*t}=1, [/mm] also lautet die Matrix B
[mm] B=\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] e^{A*t} [/mm] kanst Du so ausrechnen wie von Dir hingeschrieben. Der Hinweis auf die Expotentialreihe hast Du ja eigentlich schon umgesetzt. Denn mit der Definition für [mm] e^{A}
[/mm]
[mm] e^{A}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{A^i}{i!} [/mm] mit [mm] A=T*B*T^{-1} [/mm] ergibt sich
[mm] e^{A}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(T*B*T^{-1})^i}{i!}=T*\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{B^i}{i!}*T^{-1}=T*\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }*T^{-1}
[/mm]
Jetzt noch richtig ausmultiplizieren und Du bist fertig.
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So, ich hoffe mal, dass ich richtig ausmultipliziert habe.
Ich habe jetzt heraus [mm] \pmat{cosh(t) & sinh(t) & 0 \\ sinh(t) & cosh(t) & 0 \\ cosh(t)-1 & sinh(t) & 1}
[/mm]
Ist das richtig?
Wenn das richtig ist, muss ich jetzt doch diese Matrix mit dem Anfangswert multiplizieren, also mit [mm] \pmat{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] und dann käme ich auf [mm] \pmat{2cosh(t) \\ 2sinh(t) \\ e^{-t}(e^{2t}-2e^{t}+1)}
[/mm]
Ist das nun meine endgültige und hoffentlich richtige Lösung?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Sa 01.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
alles perfekt und richtig.
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Vielen lieben Dank für die Hilfe.
Gruß
TheBozz-mismo
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Hi, mir ist gerade noch eine Frage gekommen, als ich nochmal alles sauber aufschreiben wollte.
Bei der Berechnung von [mm] e^{tB} [/mm] hast du geschrieben $ [mm] e^{0\cdot{}t}=1, [/mm] $; müsste dann nicht überall, wo ne Null steht, eine 1 stehen? Oder
Vielleicht ist das ja so, weil das die Matrix mit den Eigenwerten sind und deswegen die anderen Stellen immer Null sein müssen.
Wär nett, wenn du oder ein anderer sich nochmal kurz dazu äußert.
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 So 02.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
In der Formel
[mm] e^{A*t}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(T\cdot{}B\cdot{}T^{-1}*t)^i}{i!}=T\cdot{}\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(B*t)^i}{i!}\cdot{}T^{-1}
[/mm]
ist ja B die Diagonalmatrix [mm] B=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] die die Eigenwerte auf der Diagonalen enthält, deshalb berechnet sich die Summe zu
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(B*t)^i}{i!}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{\pmat{ t & 0 & 0 \\ 0 & -t & 0 \\ 0 & 0 & 0 }^{i}}{i!}=\pmat{ \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{t^{i}}{i!} & 0 & 0 \\ 0 & \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-t)^{i}}{i!} & 0 \\ 0 & 0 & 0 }=\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{0} }=\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Ist jetzt alles ok?
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Jetzt ist definitiv alles klar.
Vielen Dank nochmal.
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 04.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Hallo,
ich sitze im Moment auch noch an dieser Aufgabe und hab dazu noch eine Frage.
Also wie man auf die gleichung [mm] A=T\cdot{}B\cdot{}T^{-1} [/mm] weiß ich und wie man auf [mm] B=\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] auch.
aber wenn ich
[mm] T\cdot{}\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }\cdot{}T^{-1} [/mm] wie halt die normalen matrizen ausmultipliziere dann komme ich einfach nicht auf [mm] \pmat{cosh(t) & sinh(t) & 0 \\ sinh(t) & cosh(t) & 0 \\ cosh(t)-1 & sinh(t) & 1} [/mm]
kann mir da vllt noch jemand erklären was ich da genau machen muss?
danke!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich sitze im Moment auch noch an dieser Aufgabe und hab
> dazu noch eine Frage.
> Also wie man auf die gleichung [mm]A=T\cdot{}B\cdot{}T^{-1}[/mm]
> weiß ich und wie man auf [mm]B=\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> auch.
> aber wenn ich
> [mm]T\cdot{}\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }\cdot{}T^{-1}[/mm]
> wie halt die normalen matrizen ausmultipliziere dann komme
> ich einfach nicht auf [mm]\pmat{cosh(t) & sinh(t) & 0 \\ sinh(t) & cosh(t) & 0 \\ cosh(t)-1 & sinh(t) & 1}[/mm]
Wo ist denn Deine Rechnung ?
> kann mir da vllt noch jemand erklären was ich da genau
> machen muss?
Wie Du es gesagt hast: ganz normale Matrizenmultiplikation. Wir sind keine Hellseher, ohne Deine Rechnungen kann niemand wissen, was Du falsch machst
FRED
Nun berechne mal TB
> danke!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mi 05.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay
hab jetzt T*B berechnet, das wäre bei mir:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ e^{t} & e^{-t} & 0 \\ e^{t} & -e^{-t} & 0 \\ e^{t} & e^{-t} & 1 }
[/mm]
ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mi 05.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> okay
> hab jetzt T*B berechnet, das wäre bei mir:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }\pmat{ e^{t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ e^{t} & e^{-t} & 0 \\ e^{t} & -e^{-t} & 0 \\ e^{t} & e^{-t} & 1 }[/mm]
>
> ist das richtig?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mi 05.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
habs jetzt noch mal ganz langsam gerechnet und meinen fehler gefunden!! danke !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Mi 05.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> habs jetzt noch mal ganz langsam gerechnet
..... das hilft oft ....
FRED
> und meinen
> fehler gefunden!! danke !!!
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