Lösung von Extremwertaufgaben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Di 06.03.2007 | | Autor: | Andwardo |
| Aufgabe | | Das Tiefbauamt geht bei der Planung eines Abwasserkanals von einem benötigten Querschnitt von 5 m² aus. Der Kanal soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wie sind die Maße zu wählen, damit der benetzte Umfang und damit die Reibung möglichst klein sind? |
Also ich komme nicht mehr weiter bzw. weiß nicht was ich nun machen muss!
Hauptbedingung: [mm] U=2r+2a+r*\pi [/mm] Minimum!!!
Nebenbedingung: [mm] 5=2*r*a+\bruch{1}{2}r²*\pi
[/mm]
[mm] a=\bruch{5}{2r}-\bruch{r*\pi}{4}
[/mm]
[mm] 0=2r+2(\bruch{5}{2r}-\bruch{r*\pi}{4})+r*\pi
[/mm]
0= [mm] 2r+\bruch{5}{r}+\bruch{1}{2}r*\pi
[/mm]
[mm] f(r)=2r+\bruch{5}{r}+\bruch{1}{2}r*\pi
[/mm]
wie muss ich jetzt weiter machen?????? hoffe das mit dem Formeled. hat funktioniert!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 06.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Du musst die Umfangsformel, die du errechnet hast, also U(r) = 2r + [mm]\bruch{5}{r}+ \bruch{1}{2}[/mm] r*pi minimieren. Das heißt, zweimal ableiten. Nullstellen der ersten Ableitung U' suchen, diese Kandidaten in die zweite Ableitung U'' einsetzen. Wenn der Wert positiv ist, hast du ein Minimum.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Di 06.03.2007 | | Autor: | Andwardo |
Mein Problem ist ich weis nicht wie ich die Ableiten soll, habe es schon probiert aber ich komme da einfach zu nichts
Wäre net wenn Sie mir evtl. die erste Ableitung zeigen würden!
War die Rechnung soweit richtig??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Di 06.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Die Rechnung sieht gut aus bisher.
U(r) = 2r + [mm]\bruch{5}{r}+ \bruch{1}{2}[/mm] r*pi
kannst du vereinfachen zu:
U(r) = (2 + [mm] \bruch{\pi}{2})r [/mm] + [mm] \bruch{5}{r}
[/mm]
Die 1. Ableitung ist:
U'(r) = 2 + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{r²}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Di 06.03.2007 | | Autor: | Andwardo |
wie leite ich in diesem fall nun pi/2 ab oder 5/r² ??? das verstehe ich nichtz oder besser gesagt kann ich nicht
|
|
|
| |
|
Hallo Andwardo!
[mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] ist doch eine konstante Zahl. Wie wird diese abgeleitet?
Und den Term [mm] $\bruch{5}{r^2}$ [/mm] formen wir zunächst um zu: [mm] $\bruch{5}{r^2} [/mm] \ = \ [mm] 5*r^{-2}$
[/mm]
Dies lässt sich nun wie bekannt mit der  Potenzregel ableiten.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Andwardo |
Und zwar hat mich mein mathe Lehrer heute so gelöchert dass Ich keine Ahnung mehr habe wie ich von: [mm] 5=2*r*a+\bruch{1}{2}r²*\pi
[/mm]
auf [mm] a=\bruch{5}{2r}-\bruch{r*\pi}{4} [/mm] kam!
Mein großes Problem an der Sache ist er erwartet eine Antwort bis morgen von mir und ich hab momentan echt keinen Schimmer mehr wie ich darauf kam! Also es wäre sehr nett wenn Ihr mir helfen würdet
|
|
|
| |
|
Hallo Andwardo,
"einfach" die Gleichung umformen und nach a auflösen:
[mm] 5=2ra+\bruch{1}{2}r^2\pi [/mm] auf beiden Seiten [mm] -\bruch{1}{2}r^2\pi
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 5-\bruch{1}{2}r^2\pi=2ra [/mm] beide Seiten durch 2r teilen
[mm] \Leftrightarrow \bruch{5-\bruch{1}{2}r^2\pi}{2r}=a
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \bruch{5}{2r}-\bruch{\bruch{1}{2}r^2\pi}{2r}=a
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \bruch{5}{2r}-\bruch{\red{r}\pi}{4}=a [/mm] [edit: jo, das muss natürlich r heißen - copy&paste macht's möglich  ]
Voilà
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Thorsten |
Genau!!!
Nach a auflösen, in die Zielfunktion einsetzen und dann zweimal ableiten, um die Extremwerte zu finden.
Gruß
Thorsten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Andwardo |
Ich habe leider absolut keine Ahnung wie ich das mit den Ableitungen machen soll ich weis das mein
[mm] U'(r)=2+\bruch{\pi}{2}-\bruch{5}{r²} [/mm] ist aber wie bekomme ich die zweite ableitung bzw wie geht es danach weiter?
Vielen Dank Andwardo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Ankh |
$U'(r) = 2 + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{r²}$
[/mm]
$U''(r) = (2 + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{r²})'$
[/mm]
$ = (2 + [mm] \bruch{\pi}{2})' [/mm] - [mm] (\bruch{5}{r²})'$
[/mm]
$ = 0 - [mm] (\bruch{5}{r²})'$
[/mm]
$ = 0 - [mm] (5r^{-2})'$
[/mm]
$ = 0 - [mm] (-2*5r^{-3})$
[/mm]
$ = - [mm] (-10r^{-3})$
[/mm]
$ = [mm] 10r^{-3}$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{10}{r³}$
[/mm]
Von U' brauchst du die Nullstellen und setzt sie in U'' ein. Wenn der Wert positiv ist (sollte so sein, da nur positive Radien in Frage kommen), hast du das Minimum.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Andwardo |
Tut mir leid ich verstehe ab der zweitren Zeile nur noch Bahnhof !!
ich verstehe nicht dass du bei U`` = dann die Klammern mit` bezeichnest !
und was passiert mit pi ?
Könntest du evtl an der seite Kommentare dazu schreiben? Wäre lieb. Ich verzweifle noch an dieser Aufgabe.
Was mache ich dann mit diesem Ergebnis? Ich habe ja immer noch keine Ahnung vom Radius!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Ankh |
U''(r) ist die zweite Ableitung der Umfangsfunktion U(r), U'(r) die erste.
Um die zweite Ableitung auszurechen, bildest du die Ableitung der ersten Ableitung U'(r).
Das ' heißt immer "Ableitung".
In der dritten Zeile trenne ich nach der Ableitungsregel für Summe den linken von dem rechten Teil.
Der linke Teil ist eine konstante Zahl (Pi ist 3,1415...). Die Ableitung einer Konstanten ist Null.
Der rechte Teil wird nach der Potenzregel abgeleitet.
Entscheidend für die Lösung der Aufgabe sind aber die Nullstellen der ersten Ableitung, also von $U'(r) = 2 + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{r²}$:
[/mm]
Diese Funktion musst du auf 0 setzen:
$0 = 2 + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{r²}$
[/mm]
Wenn du das nach r umstellst, erhältst du als Radius 1,18...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Andwardo |
Die letzte "dumme Frage " wie stelle ich auf R um ?
Mein Problem bei dieser umstell Geschichte ist bzw sind die Brüche ich weis nicht wie Ich da vorgehen muss:
habe das mal probiert aber denke es ist FALSCH:
0= [mm] 2+\bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{r²} [/mm] ich ziehe dann die wurzel
0= 1,42 [mm] +\wurzel \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \wurzel \bruch{5}{r²} [/mm] dann mach ich die [mm] \wurzel \bruch{5}{r²} [/mm] auf die andere Seite
0= 1,42 [mm] +\wurzel \bruch{\pi}{2}=\wurzel \bruch{5}{r²}
[/mm]
[mm] 2,66=\wurzel \bruch{5}{r²} [/mm] teile ich durch [mm] \wurzel \bruch{5}{r²}
[/mm]
1,19.... = r
stimmt das???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hi,
auch wenn das hier nicht ganz richtig war, dafür dass du es versucht hast schon mal ein ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") und nächstes Mal klappt das dann sicher schon viel besser.
Dein Fehler hier war, dass du aus den Einzeltermen die Wurzel gezogen hast.
> Die letzte "dumme Frage " wie stelle ich auf R um ?
> Mein Problem bei dieser umstell Geschichte ist bzw sind
> die Brüche ich weis nicht wie Ich da vorgehen muss:
> habe das mal probiert aber denke es ist FALSCH:
>
> [mm] 0=2+\bruch{pi}{2}-\bruch{5}{r²} [/mm] ich ziehe dann die Wurzel
das würde ich noch nicht machen, sonder so vorgehen:
Wir sortieren zunächst nach r und nicht r
[mm] \bruch{5}{r^2}=2+\bruch{\pi}{2}
[/mm]
jetzt multipliziere ich mit 2
[mm] 2*\bruch{5}{r^2}=2*2+2*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{10}{r^2}=4+\pi
[/mm]
nun mit [mm] r^2 [/mm] multiplizieren
[mm] \bruch{10}{r^2}*r^2=r^2*(4+\pi)
[/mm]
nun durch [mm] (4+\pi) [/mm] teilen
[mm] \bruch{10}{4+\pi}=r^2
[/mm]
das ergibt:
[mm] 1,40024=r^2
[/mm]
und somit ist r=1,18332
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Ankh!
> Von U' brauchst du die Nullstellen und setzt sie in U''
> ein. Wenn der Wert positiv ist (sollte so sein, da nur
> positive Radien in Frage kommen), hast du das Minimum.
Die hinreichende Bedingung für ein Minimum mit positiver 2. Ableitung [mm] $u''(r_E) [/mm] \ > \ 0$ hat aber überhaupt nichts mit dem Vorzeichen des Wertes von [mm] $r_E$ [/mm] zu tun. Das sind zwei völlig unterschiedlich Paar Schuhe.
Klar sind hier nur positve $r_$-Werte sinnvoll im Sinne der Aufgabenstellung.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Was ich damit sagen wollte, war:
1. $r$ kann nur positive Werte annehmen.
2. Da $r$ und $U''(r)$ die gleichen Vorzeichen haben, ist jede "sinnvolle" Nullstelle von $U'$ automatisch eine Minimalstelle.
Aber du hast natürlich recht, dass eventuelle "sinnlose" Nullstellen ($r [mm] \le [/mm] 0$) vorher rausgefiltert werden müssten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Andwardo |
Vilen Dank aber jetzt habe ich leider eine Frage zu den letzten beiden Zeilen
Wie kommen diese zustande?
[mm] \bruch{5}{2r}-\bruch{1/2r²*\pi}{2r}=a [/mm] wie ist der nächste schrtt
[mm] \bruch{5}{2r}-\bruch{r² *\pi}{4}=a [/mm] wie komme ich auf die 4 und wo sind die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hin verschwunden??
Achja und hmm irgendwie ist es mir peinlich aber ich habe ja dann die erste Ableitung, ich weis aus dem Lösungsbuch das mein Radius ca. 1,18 ist aber wie komme ich dahin ? Wäre nett wen Sie mir helfen könnten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Ankh |
[mm] $\bruch{5}{2r} [/mm] - [mm] \bruch{1/2r²*\pi}{2r}=a$
[/mm]
[mm] \gdw $\bruch{5}{2r} [/mm] - [mm] \bruch{r *\pi}{4}=a$
[/mm]
Denn: [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] : 2 = [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] und [mm] $\bruch{r²}{r} [/mm] = r$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Vilen Dank aber jetzt habe ich leider eine Frage zu den
> letzten beiden Zeilen
> Wie kommen diese zustande?
> [mm]\bruch{5}{2r}-\bruch{1/2r²*\pi}{2r}=a[/mm] wie ist der
> nächste schritt
[mm] \bruch{5}{2r}-\bruch{1/2r²*\pi}{2r}=\bruch{5}{2r}-\bruch{1}{2}*\bruch{r²*\pi}{2r}=a
[/mm]
> [mm]\bruch{5}{2r}-\bruch{r² *\pi}{4}=a[/mm] wie komme ich auf die 4
> und wo sind die [mm]\bruch{1}{2}[/mm] hin verschwunden??
im Zähler hatte sich noch ein kleiner Fehler eingeschlichen:
[mm] \bruch{5}{2r}-\bruch{\red{r}*\pi}{4}=a
[/mm]
nur r, da im Nenner ja schon ein r stand (die Herleitung habe ich mir nicht angeschaut  ).
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
|
