Lösung komplexer Gleichungen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
heyho ich versuche mich grade an einer Aufgabe und habe einige Fragen:
Ich soll alle komplexen Lösungen dieser beiden Gleichungen finden
1) [mm] z^4 [/mm] = 1
[mm] 2)z^2 [/mm] + iz + (3/4) + i= 0
ich weiß allerdings nicht wie genau ich das machen muss
stimmt es wenn ich bei 1) sage:
[mm] z^4 [/mm] = 1
z= [mm] \wurzel[4]{l1l}
[/mm]
z= l1l^(1/4)
z= 1 bzw. -1
stimmt das so?
und was soll ich nun tuen wenn bei der Übung steht: skizzieren sie die Lösungen?
zu 2)
[mm] z^2 [/mm] + iz + (3/4) + i= 0
wie forme ich hier nach z um? und was mach ich hier um alle komplexen Lösungen zu erhalten? und was bedeutet hier: skizzieren sie die Lösungsmenge?
LG
Alex
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Hallo Alex1993,
> heyho ich versuche mich grade an einer Aufgabe und habe
> einige Fragen:
> Ich soll alle komplexen Lösungen dieser beiden
> Gleichungen finden
> 1) [mm]z^4[/mm] = 1
> [mm]2)z^2[/mm] + iz + (3/4) + i= 0
>
> ich weiß allerdings nicht wie genau ich das machen muss
> stimmt es wenn ich bei 1) sage:
> [mm]z^4[/mm] = 1
> z= [mm]\wurzel[4]{l1l}[/mm]
> z= l1l^(1/4)
> z= 1 bzw. -1
???
>
> stimmt das so?
Nein, es gibt 4 Lösungen, 2 reelle (1 und -1) und 2 (rein) komplexe.
Schlage mal nach, wie man die n-ten Wurzeln berechnet (hier die 4-ten Wurzeln) - Stichwort auch: Moivreformel
Hier kannst du mit dem Wissen um die beiden reellen Nullstellen auch eine Polynomdivision machen und damit die reellen NSTen abspalten
[mm](z^4-1):(z^2-1)=z^2+1[/mm]
Und die restlichen Nullstellen von [mm]z^2+1[/mm] bestimmen ...
>
> und was soll ich nun tuen
Das tuhtet mir weh, wenn ich das lese ...
> wenn bei der Übung steht:
> skizzieren sie die Lösungen?
In der Ebene einzeichnen!
>
> zu 2)
> [mm]z^2[/mm] + iz + (3/4) + i= 0
>
> wie forme ich hier nach z um? und was mach ich hier um alle
> komplexen Lösungen zu erhalten?
p/q-Formel oder quadratische Ergänzung
> und was bedeutet hier:
> skizzieren sie die Lösungsmenge?
Die Lösungen in der Ebene einzeichnen!
>
> LG
> Alex
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Hallo Alex1993,
>
>
> > heyho ich versuche mich grade an einer Aufgabe und habe
> > einige Fragen:
> > Ich soll alle komplexen Lösungen dieser beiden
> > Gleichungen finden
> > 1) [mm]z^4[/mm] = 1
> > [mm]2)z^2[/mm] + iz + (3/4) + i= 0
> >
> > ich weiß allerdings nicht wie genau ich das machen
> muss
> > stimmt es wenn ich bei 1) sage:
> > [mm]z^4[/mm] = 1
> > z= [mm]\wurzel[4]{l1l}[/mm]
> > z= l1l^(1/4)
> > z= 1 bzw. -1
ja 1 und -1 sind ja auch meine Lösunge
>
>
>
> >
> > stimmt das so?
>
> Nein, es gibt 4 Lösungen, 2 reelle (1 und -1) diese habe ich und 2 (rein)
> komplexe.
>
> Schlage mal nach, wie man die n-ten Wurzeln berechnet (hier
> die 4-ten Wurzeln) - Stichwort auch: Moivreformel
mit dieser Moivreformel kann ich leider nichts anfangen..und bei einer Wurzel berechnet man die n-te Wurzel, meines Wissens nach, indem man (1/n) in den Exponenten setzt, habe ich ja getan. s.o.
>
> Hier kannst du mit dem Wissen um die beiden reellen
> Nullstellen auch eine Polynomdivision machen und damit die
> reellen NSTen abspalten
>
> [mm](z^4-1):(z^2-1)=z^2+1[/mm]
>
> Und die restlichen Nullstellen von [mm]z^2+1[/mm] bestimmen ...
wie mache ich das? ich kann ja umformen zu z²-1=0
>
> >
> > und was soll ich nun tuen
>
> Das tuhtet mir weh, wenn ich das lese ...
>
> > wenn bei der Übung steht:
> > skizzieren sie die Lösungen?
>
> In der Ebene einzeichnen!
>
> >
> > zu 2)
> > [mm]z^2[/mm] + iz + (3/4) + i= 0
> >
> > wie forme ich hier nach z um? und was mach ich hier um
> alle
> > komplexen Lösungen zu erhalten?
>
> p/q-Formel oder quadratische Ergänzung
wie funktioniert dies bei diesem Term?
ich habe mich an beidem versucht, scheitere allerdings an der 2. Variabel...
>
> > und was bedeutet hier:
> > skizzieren sie die Lösungsmenge?
>
> Die Lösungen in der Ebene einzeichnen!
Mir ist klar wie man eine komplexe Zahl in die Ebene einzeichnet, wie funktioniert das jedoch mit einer reellen Zahl? liegt diese das ausschließlich auf der y-Achse?
>
> >
> > LG
> > Alex
> >
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
>
> ja 1 und -1 sind ja auch meine Lösunge
Das ist nur ein Teil der Lösungen ....
> > Hier kannst du mit dem Wissen um die beiden reellen
> > Nullstellen auch eine Polynomdivision machen und damit die
> > reellen NSTen abspalten
> >
> > [mm](z^4-1):(z^2-1)=z^2+1[/mm]
> >
> > Und die restlichen Nullstellen von [mm]z^2+1[/mm] bestimmen ...
>
>
> wie mache ich das? ich kann ja umformen zu z²-1=0
Wie formst du bitte [mm] $z^2+1=0$ [/mm] zu [mm] $z^2-1=0$ [/mm] um?
Es ist [mm] $z^2+1=0\gdw z^2=-1\gdw z^2=i^2$
[/mm]
Also ergeben sich welche 2 weitern Lösungen (neben den oben gefundenen reellen Lösungen [mm] $\pm [/mm] 1$) ?
> wie funktioniert dies bei diesem Term?
> ich habe mich an beidem versucht, scheitere allerdings an
> der 2. Variabel...
Du hast doch bloß eine Variable, und zwar z ...
Das geht genau wie im Reellen. Du musst dann nur aufpassen mit der Wurzel aus einer komplexen Zahl, die du nachher bekommst ....
Also zeige mal, was du angesetzt hast ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Hallo nochmal,
>
>
> >
> > ja 1 und -1 sind ja auch meine Lösunge
>
> Das ist nur ein Teil der Lösungen ....
>
> > > Hier kannst du mit dem Wissen um die beiden reellen
> > > Nullstellen auch eine Polynomdivision machen und damit
> die
> > > reellen NSTen abspalten
> > >
> > > [mm](z^4-1):(z^2-1)=z^2+1[/mm]
> > >
> > > Und die restlichen Nullstellen von [mm]z^2+1[/mm] bestimmen
> ...
> >
> >
> > wie mache ich das? ich kann ja umformen zu z²-1=0
>
> Wie formst du bitte [mm]z^2+1=0[/mm] zu [mm]z^2-1=0[/mm] um?
ups ich hatte mich verlesen. sorry..
>
> Es ist [mm]z^2+1=0\gdw z^2=-1\gdw z^2=i^2[/mm]
>
> Also ergeben sich welche 2 weitern Lösungen (neben den
> oben gefundenen reellen Lösungen [mm]\pm 1[/mm]) ?
ja i und -i oder?
Wenn ich dies dann einzeichnen soll ist meine Lösungsmenge doch 1 auf der x-Achse , -1 auf der negativen x-Achse, i auf der y- Achse und -i auf der negativen y-Achse oder?
>
>
> > wie funktioniert dies bei diesem Term?
> > ich habe mich an beidem versucht, scheitere allerdings
> an
> > der 2. Variabel...
>
> Du hast doch bloß eine Variable, und zwar z ...
>
> Das geht genau wie im Reellen. Du musst dann nur aufpassen
> mit der Wurzel aus einer komplexen Zahl, die du nachher
> bekommst ....
>
> Also zeige mal, was du angesetzt hast ...
> mithilfe der p/q Formel erhalte ich:
> Gruß
>0,5iz +/- [mm] \wurzel{0,25 * i^2 * z^2 -(3/4)-i}
[/mm]
leider weiß ich nicht genau wie ich weiter umformen kann..
> schachuzipus
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Hallo,
versuche doch wenigstens, unseren Editor zu benutzen.
Das macht die ganze Sache ordentlich lesbar und motiviert viel mehr zu antworten, also so ein "Kraut- und Rübenaufschrieb" ...
> > Wie formst du bitte [mm]z^2+1=0[/mm] zu [mm]z^2-1=0[/mm] um?
> ups ich hatte mich verlesen. sorry..
> >
> > Es ist [mm]z^2+1=0\gdw z^2=-1\gdw z^2=i^2[/mm]
> >
> > Also ergeben sich welche 2 weitern Lösungen (neben den
> > oben gefundenen reellen Lösungen [mm]\pm 1[/mm]) ?
>
> ja i und -i oder?
Genau!
>
> Wenn ich dies dann einzeichnen soll ist meine Lösungsmenge
> doch 1 auf der x-Achse , -1 auf der negativen x-Achse, i
> auf der y- Achse und -i auf der negativen y-Achse oder?
Ja, bzw. 1,-1 auf der reellen Achse und i,-i auf der imaginären Achse.
Es sind m.a.W. die vier Schnittpunkte des Einheitskreises mit den Achsen.
> >
> >
> > > wie funktioniert dies bei diesem Term?
> > > ich habe mich an beidem versucht, scheitere
> allerdings
> > an
> > > der 2. Variabel...
> >
> > Du hast doch bloß eine Variable, und zwar z ...
> >
> > Das geht genau wie im Reellen. Du musst dann nur aufpassen
> > mit der Wurzel aus einer komplexen Zahl, die du nachher
> > bekommst ....
> >
> > Also zeige mal, was du angesetzt hast ...
> > mithilfe der p/q Formel erhalte ich:
> > Gruß
> >0,5iz +/- [mm]\wurzel{0,25 * i^2 * z^2 -(3/4)-i}[/mm]
Nein, das z taucht da nicht auf!!
Du hast was mit [mm] $z_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$
[/mm]
Jetzt schau mal genau hin, was p und was q ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Hallo,
>
> versuche doch wenigstens, unseren Editor zu benutzen.
>
> Das macht die ganze Sache ordentlich lesbar und motiviert
> viel mehr zu antworten, also so ein "Kraut- und
> Rübenaufschrieb" ...
>
> > > Wie formst du bitte [mm]z^2+1=0[/mm] zu [mm]z^2-1=0[/mm] um?
> > ups ich hatte mich verlesen. sorry..
> > >
> > > Es ist [mm]z^2+1=0\gdw z^2=-1\gdw z^2=i^2[/mm]
> > >
> > > Also ergeben sich welche 2 weitern Lösungen (neben
> den
> > > oben gefundenen reellen Lösungen [mm]\pm 1[/mm]) ?
> >
> > ja i und -i oder?
>
> Genau!
>
> >
> > Wenn ich dies dann einzeichnen soll ist meine
> Lösungsmenge
> > doch 1 auf der x-Achse , -1 auf der negativen x-Achse,
> i
> > auf der y- Achse und -i auf der negativen y-Achse oder?
>
> Ja, bzw. 1,-1 auf der reellen Achse und i,-i auf der
> imaginären Achse.
>
> Es sind m.a.W. die vier Schnittpunkte des Einheitskreises
> mit den Achsen.
>
>
> > >
> > >
> > > > wie funktioniert dies bei diesem Term?
> > > > ich habe mich an beidem versucht, scheitere
> > allerdings
> > > an
> > > > der 2. Variabel...
> > >
> > > Du hast doch bloß eine Variable, und zwar z ...
> > >
> > > Das geht genau wie im Reellen. Du musst dann nur
> aufpassen
> > > mit der Wurzel aus einer komplexen Zahl, die du
> nachher
> > > bekommst ....
> > >
> > > Also zeige mal, was du angesetzt hast ...
> > > mithilfe der p/q Formel erhalte ich:
> > > Gruß
> > >0,5iz +/- [mm]\wurzel{0,25 * i^2 * z^2 -(3/4)-i}[/mm]
>
> Nein, das z taucht da nicht auf!!
>
> Du hast was mit
> [mm]z_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}[/mm]
>
> Jetzt schau mal genau hin, was p und was q ist ...
achja lang ist her 
also habe ich:
0,5i +/- [mm] \wurzel{0,25*i^2 -(3/4)-i}
[/mm]
kann ich das noch weiter umformen?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
versuche, mit etwas mehr Bedacht zu zitieren; du kannst Unnötiges weglöschen ...
> > [mm]z_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}[/mm]
> >
> > Jetzt schau mal genau hin, was p und was q ist ...
>
> achja lang ist her
> also habe ich:
> 0,5i +/- [mm]\wurzel{0,25*i^2 -(3/4)-i}[/mm]
Fast. Vorne muss [mm]\red -\frac{1}{2}i[/mm] stehen ...
> kann ich das noch
> weiter umformen?
Vereinfache den Term unter der Wurzel: was ist [mm]i^2[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay also:
[mm] x_1 [/mm] : -0,5i + [mm] \wurzel{-1-i}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] : -0,5i - [mm] \wurzel{-1-i}
[/mm]
stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Fr 22.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay also:
> [mm]x_1[/mm] : -0,5i + [mm]\wurzel{-1-i}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] : -0,5i - [mm]\wurzel{-1-i}[/mm]
>
> stimmt das so?
Geht es um:
[mm] $z^{2}+iz+\left(\frac{3}{4}\right)+i=0$
[/mm]
Also p=i und [mm] q=\frac{3}{4}+i
[/mm]
Damit dann:
[mm] z_{1;2}=-\frac{i}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{i}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{4}+i\right)}
[/mm]
[mm] =\frac{i}{2}\pm\sqrt{\frac{i^{2}}{4}-\frac{3}{4}-i}
[/mm]
[mm] =\frac{i}{2}\pm\sqrt{-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-i}
[/mm]
[mm] =\frac{i}{2}\pm\sqrt{-1-i}
[/mm]
Das stimmt also so.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
kann es sein das du das minus vor 1/2 vergessen hast? 
eine Frage noch:
bei 1) also [mm] z^4 [/mm] = -1
habe ich die 4 Lösungen ja in 2 Schritten rausgefunden:
einmal durch
z= [mm] \wurzel[4]{|-1|}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = 1 [mm] z_2= [/mm] -1
und im zweiten Schritt durch die Polynomdivision..gibt es auch eine Möglichkeit die 4 komplexen Lösungen in einem Schritt zu erhalten?
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Hallo nochmal,
> kann es sein das du das minus vor 1/2 vergessen hast?
Jo, zuerst stand es noch da, dann ist es verschwunden - copy&paste, nehme ich an ...
Passiert schon mal ...
> eine Frage noch:
> bei 1) also [mm]z^4[/mm] = -1
Diese Aufgabe haben wir gar nicht behandelt ...
Oben steht [mm]z^4=1[/mm] bzw. [mm]z^4-1=0[/mm]
> habe ich die 4 Lösungen ja in 2 Schritten rausgefunden:
> einmal durch
> z= [mm]\wurzel[4]{|-1|}[/mm]
> [mm]z_1[/mm] = 1 [mm]z_2=[/mm] -1
> und im zweiten Schritt durch die Polynomdivision..gibt es
> auch eine Möglichkeit die 4 komplexen Lösungen in einem
> Schritt zu erhalten?
Der Ansatz, den du beschreibst, liefert dir die 4 Lösungen.
[mm]z=\sqrt[4]{1}[/mm] hat nunmal 4 Lösungen, die du gem. Moivreformel berechnen kannst
[mm]z_k=\cos\left(\frac{2k\pi}{4}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{2k\pi}{4}\right)[/mm], [mm]k=0,1,2,3[/mm]
Schaue nach, wie die Argumente im Sinus und Cosinus zustande kommen!
Wahlweise in Exponentialform ...
Was wir oben gemacht haben, ist, die beiden reellen Lösungen [mm]z_0=1, z_1=-1[/mm] abzulesen und als Linearfaktoren abgespaltet:
Es ist [mm]z^4-1=(z^2+1)(z+1)(z-1)[/mm]
Blieben die NSTen von [mm]z^2+1[/mm] zu bestimmen ...
Letztlich liefert uns das sogar eine Linearfaktorzerlegung von [mm] $z^4-1$:
[/mm]
[mm] $z^4-1=(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
und wie skizziere ich nun die Lösungmenge in mein Koordinatensystem wenn ich im Prinzip nur einen Imaginärteil habe? bzw wo liegt z.B der Punkt zu
-0,5i+ [mm] \wurzel{-1-i} [/mm] ?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Fr 22.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> und wie skizziere ich nun die Lösungmenge in mein
> Koordinatensystem wenn ich im Prinzip nur einen
> Imaginärteil habe? bzw wo liegt z.B der Punkt zu
> -0,5i+ [mm]\wurzel{-1-i}[/mm] ?
> LG
Du musst
[mm] z_{1}=-0,5i+\sqrt{-1-i} [/mm] noch in [mm] $z_{1}=a_{1}+i\cdot b_{1} [/mm] $ umformen, mit noch zu bestimmenden [mm] a_{1} [/mm] und [mm] b_{1}
[/mm]
Ebenso natürlich [mm] z_{2} [/mm] in [mm] $z_{2}=a_{2}+i\cdot b_{2} [/mm] $
Alternativ kannst du die beiden Zahlen auch in die Polarform umwandeln, denn das sind die einzigen Beiden Formen, die du direkt einzeichnen kannst.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
die Polarform dürfen wir leider noch nicht anwenden. Wie wandelt man denn eine solche Form wie [mm] z_1 [/mm] bzw. [mm] z_2 [/mm] um? Ich habe ja sowie vor als auch in der Wurzel i als Faktor dabei.Wo ist denn mein Realteil bzw. "a"?
LG
Alex
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Hallo,
> die Polarform dürfen wir leider noch nicht anwenden. Wie
> wandelt man denn eine solche Form wie [mm]z_1[/mm] bzw. [mm]z_2[/mm] um? Ich
> habe ja sowie vor als auch in der Wurzel i als Faktor
> dabei.Wo ist denn mein Realteil bzw. "a"?
am einfachsten setzt man hier
[mm] (x+iy)^2=-1-i
[/mm]
und berechnet x und y via Koeffizientenvergleich.
Alternativ (und eleganter) kann man versuchen, den Radikand in ein Binom umzuformen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
bitte verbessert mich wenn ich auf dem Holzweg bin und verurteilt mich nicht wegen meiner Unwissenheut:
also wenn [mm] (x+iy)^2 [/mm] = -1 -i
dann ist auch:
[mm] x^2 [/mm] +2ixy + [mm] i^{2}y^2 [/mm] = -1-i
dann sortiere ich nach Real- und Imaginärteil und erhalte:
[mm] x^2 [/mm] = -1
2ixy + [mm] i^{2}y^{2}= [/mm] -i
stimmt das?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay wenn ich es ähnlich wie bei der anderen Teilaufgabe mache erhalte ich:
[mm] x^2 [/mm] + 2ixy + [mm] i^2y^2 [/mm] = -1 -i
wegen [mm] i^2 [/mm] = -1
[mm] x^2 [/mm] - [mm] 2y^2 [/mm] +2ixy = -1 -i
Realteil= -1
imaginär Teil= -1 (wegen -1*i)
also:
[mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] = -1
und
2xy = -1
soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay wenn ich es ähnlich wie bei der anderen Teilaufgabe
> mache erhalte ich:
> [mm]x^2[/mm] + 2ixy + [mm]i^2y^2[/mm] = -1 -i
> wegen [mm]i^2[/mm] = -1
> [mm]x^2[/mm] - [mm]2y^2[/mm] +2ixy = -1 -i
> Realteil= -1
> imaginär Teil= -1 (wegen -1*i)
> also:
> [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] = -1
> und
> 2xy = -1
> soweit richtig?
Gehen wir von $ [mm] (x+iy)^2 [/mm] =-1-i $ aus?
Wenn ja:
$ [mm] (x+iy)^2 [/mm] =-1-i $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{2}+2ixy+(iy)^2 [/mm] =-1-i $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{2}+2ixy+i^{2}y^2 [/mm] =-1-i $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2ixy [/mm] =-1-i $
Also
[mm] x^{2}-y^{2}=-1 [/mm] und 2xy=-1
Damit stimmen deine Lösungsansätze. Löse nun also das Gleichungssystem
[mm] \vmat{x^{2}-y^{2}=-1\\2xy=-1}
[/mm]
Am einfachsten geht das hier per Einsetzungsverfahren.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
stimmen die Lösungen:
(-1 + i)
((1/3) - (5/3)i)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> stimmen die Lösungen:
> (-1 + i)
> ((1/3) - (5/3)i)?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, wie man auch schnell anhand der Probe durch [mm] $z^2$ [/mm] selber überprüfen kann.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay dann erhalte ich nach Beseitigung der Rechenfehler:
(0-i)
((4/3)-(5/3)i)
müsste diesmal stimmen oder? habe sogar überprüft
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay dann erhalte ich nach Beseitigung der Rechenfehler:
> (0-i)
> ((4/3)-(5/3)i)
> müsste diesmal stimmen oder? habe sogar überprüft
Dann testen wir mal gemeinsam
[mm] (0-i)^{2}=0^{2}-2\cdot0\cdot i^{2}+i^{2}=-1\red{\ne}-1-i
[/mm]
Diese Lösung stimmt also nicht
[mm] \left(\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i\right)^{2}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-2\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{3}i+\left(\frac{5}{3}i\right)^{2}
[/mm]
[mm] =\frac{16}{9}-\frac{40}{9}i+\frac{25}{9}i^{2}
[/mm]
[mm] =\frac{16}{9}-\frac{40}{9}i-\frac{25}{9}
[/mm]
[mm] =\frac{-9}{9}-\frac{40}{9}i
[/mm]
[mm] =-1-\frac{40}{9}i
[/mm]
[mm] \red{\ne}-1-i
[/mm]
Auch diese Lösung stimmt so nicht. Immerhin führen beide zum korrekten Realteil.
Das heisst, du darfst als Übung neu rechnen.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> stimmen die Lösungen:
> (-1 + i)
> ((1/3) - (5/3)i)?
Schreib doch mal deine Lösungswege auf:
$ [mm] \vmat{x^{2}-y^{2}=-1\\2xy=-1} [/mm] $
II (nach y aufgelöst) in I:
[mm] x^{2}+\left(\frac{1}{-2x}\right)^{2}=-1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}+1=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{4}+\frac{1}{4}+x^{2}=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{4}+2\cdot x^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=0
[/mm]
Nun denke mal an die binomischen Formeln.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
wenn ich für y= -1 und (5/3) erhalte müsste es aber doch stimmen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> wenn ich für y= -1 und (5/3) erhalte müsste es aber doch
> stimmen oder?
Nein, zeige doch mal deine Rechnungen.
Welche Lösungen für x bekommst du denn aus:
$ [mm] x^{4}+2\cdot x^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=0 [/mm] $
Bestimme dann mit [mm] y=\frac{1}{-2x} [/mm] die zugehörigen Werte für y
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Welche Lösungen für x bekommst du denn aus:
> [mm]x^{4}+2\cdot x^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=0[/mm]
Was hilft mir denn hier die binomische Formel?
ich kann ja umformen zu
[mm] (x^2 [/mm] + x + 0,5 )
wenn ich jetzt jedoch die p/q Formel anwende erhalte ich etwas negatives unter der Wurzel..das funktioniert ja nicht (wegen 0,25-0,5)
wo liegt denn der Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
>
> > Welche Lösungen für x bekommst du denn aus:
> > [mm]x^{4}+2\cdot x^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=0[/mm]
>
> Was hilft mir denn hier die binomische Formel?
Es galt doch:
$ [mm] \vmat{x^{2}-y^{2}=-1\\2xy=-1} [/mm] $
II (nach y aufgelöst) in I:
$ [mm] x^{2}+\left(\frac{1}{-2x}\right)^{2}=-1 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}+1=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{4}+\frac{1}{4}+x^{2}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{4}+2\cdot x^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=0 [/mm] $
Ist dir das klar?
Nun gilt also, nach Bin. Formel:
[mm] \left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)^{2}=0
[/mm]
> ich kann ja umformen zu
> [mm](x^2[/mm] + x + 0,5 )
Was genau willst du denn damit? Das passt doch überhaupt nicht zur Aufgabe.
> wenn ich jetzt jedoch die p/q Formel anwende erhalte ich
> etwas negatives unter der Wurzel..das funktioniert ja nicht
> (wegen 0,25-0,5)
>
> wo liegt denn der Fehler?
Die p-q-Formel fuktioniert hier nicht, weil du nicht die Form x²+px+q=0 hast.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Es galt doch:
>
> [mm]\vmat{x^{2}-y^{2}=-1\\2xy=-1}[/mm]
>
> II (nach y aufgelöst) in I:
>
> [mm]x^{2}+\left(\frac{1}{-2x}\right)^{2}=-1[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}+1=0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow x^{4}+\frac{1}{4}+x^{2}=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x^{4}+2\cdot x^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=0[/mm]
>
> Ist dir das klar?
klaro!
>
> Nun gilt also, nach Bin. Formel:
>
> [mm]\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)^{2}=0[/mm]
diesen Term hatte ich auch schon berechnet. habe es aber dann wieder verschmissen weil ja dann gilt:
[mm] (x^2 [/mm] + 0,5) = 0
[mm] x^2 [/mm] = -0,5
und das geht ja wieder nicht oder sehe ich das falsch?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich hab nen Vorzeichenfehler drin, sorry
$ [mm] \vmat{x^{2}-y^{2}=-1\\2xy=-1} [/mm] $
II (nach y aufgelöst) in I:
$ [mm] x^{2}\red{-}\left(\frac{1}{-2x}\right)^{2}=-1 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{2}\red{-}\frac{1}{4x^{2}}+1=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{4}\red{-}\frac{1}{4}+x^{2}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{4}+x^{2}\red{-}\frac{1}{4}=0 [/mm] $
Nun substituiere u²=x, dann kannst du die p-q-Formel nutzen, und damit dann die Lösungen bestimmen
Also:
[mm] u_{1;2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{1}{4}\right)}
[/mm]
Welche Lösungen haben dann Lösungen für x²=u?
Und dazu gehören dann welche Lösungen für [mm] y=\frac{-1}{2x}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> [mm]\vmat{x^{2}-y^{2}=-1\\2xy=-1}[/mm]
>
> II (nach y aufgelöst) in I:
>
> [mm]x^{2}red{-}\left(\frac{1}{-2x}\right)^{2}=-1[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x^{2}red{-}\frac{1}{4x^{2}}+1=0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow x^{4}red{-}\frac{1}{4}+x^{2}=0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow x^{4}+x^{2}red{-}\frac{1}{4}=0[/mm]
>
> Nun substituiere u²=x, dann kannst du die p-q-Formel
> nutzen, und damit dann die Lösungen bestimmen
>
> Also:
>
> [mm]u_{1;2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}[/mm]
aber wieso denn Wurzel 3? Ich erhalten unter der Wurzel 0,5 wenn ich nachrechne.. das wären dann:
-(1/2) +/- [mm] \wurzel{0,5}
[/mm]
dann erhalte ich als Ergebnis
[mm] (-0,5-\wurzel{0,5})^2
[/mm]
[mm] (-0,5+\wurzel{0,5})^2
[/mm]
[mm] -(-0,5-\wurzel{0,5})^2
[/mm]
[mm] -(-0,5+\wurzel{0,5})^2
[/mm]
oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> aber wieso denn Wurzel 3? Ich erhalten unter der Wurzel 0,5
Stimmt
[mm] \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(-\frac{1}{4}\right)}
[/mm]
[mm] =\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}
[/mm]
[mm] =\sqrt{\frac{1}{2}}
[/mm]
> wenn ich nachrechne.. das wären dann:
> -(1/2) +/- [mm] \wurzel{0,5}
[/mm]
Stimmt, sorry
>
> dann erhalte ich als Ergebnis
> [mm] (-0,5-\wurzel[red][b]{[/b][/red]0,5})^2
[/mm]
> [mm] (-0,5+\wurzel[red][b]{[/b][/red]0,5})^2
[/mm]
> [mm] -(-0,5-\wurzel[red][b]{[/b][/red]0,5})^2
[/mm]
> [mm] -(-0,5+\wurzel[red][b]{[/b][/red]0,5})^2
[/mm]
Das stimmt nicht mehr
Du hast:
[mm] u_{1}=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}
[/mm]
Also
[mm] x_{1;2}=\pm\sqrt{-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}}
[/mm]
Und
[mm] u_{2}=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}
[/mm]
Also
[mm] x_{3;4}=\pm\sqrt{-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{2}}}
[/mm]
[mm] x_{3;4} [/mm] existieren aber nicht.
> oder?
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ok dann erhalte ich wenn ich dann für y einsetze und runde
[mm] y_1 [/mm] = -1,09 für x= 0,455
[mm] y_2 [/mm] = 1,099 für x= -0,455
stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> ok dann erhalte ich wenn ich dann für y einsetze und
> runde
> [mm]y_1[/mm] = -1,09 für x= 0,455
> [mm]y_2[/mm] = 1,099 für x= -0,455
> stimmt das?
Gib mal die ungerundeten Werte an, dann kann man mal schauen.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay also
[mm] y_1= \wurzel{-0,5+ \wurzel{0,5}} [/mm] x= - [mm] (\bruch{1}{2 * \wurzel{-0,5+ \wurzel{0,5}}}) [/mm]
[mm] y_2 [/mm] =- [mm] \wurzel{-0,5+ \wurzel{0,5}} [/mm] x= [mm] (\bruch{1}{2 * \wurzel{-0,5+ \wurzel{0,5}}})
[/mm]
so?
eignen sich die gerundeten Werte nicht besser um besser die Form (x+iy) aufstellen zu können?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay also
> [mm]y_1= \wurzel{-0,5+ \wurzel{0,5}}[/mm] x= - [mm](\bruch{1}{2 * \wurzel{-0,5+ \wurzel{0,5}}})[/mm]
> [mm]y_2[/mm] =- [mm]\wurzel{-0,5+ \wurzel{0,5}}[/mm] x= [mm](\bruch{1}{2 * \wurzel{-0,5+ \wurzel{0,5}}})[/mm]
>
Ja
> so?
> eignen sich die gerundeten Werte nicht besser um besser die
> Form (x+iy) aufstellen zu können?
Nein, was spricht dagegen die Werte so in z einzusetzen? Zum Weiterrechnen solltest du auf jeden Fall mit den exakten Werten weiterrechnen. Du solltest sowenig wie möglich runden, gerade im Studium.
MfG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 24.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
wie kommt man eigentlich auch [mm] (x+iy)^2 [/mm] = -1+1i ?
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Hallo,
> wie kommt man eigentlich auch [mm](x+iy)^2[/mm] = -1+1i ?
Gar nicht, in diesem Fall. Es war die Rede von
[mm] (x+iy)^2=-1-i
[/mm]
Durch welche Rechenoperation löst man eine Wurzel auf? Woher kommt dann wohl das Quiadrat auf der linken Seite und was könnte das ganze damit zu tun haben, dass man eine Wurzel mit komplexem Inhalt ausrechnen möchte?
Man muss hier schon, das wurde glaub ich auch schon getan, konstatieren, dass du die gegebenen Antworten nicht gründlich genug durcharbeitest. Das soll gar kein Vorwurf sein, höchstens ein Tipp, wie du dir in Zukunft das Leben leichter machen könntest.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 24.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
der Zusammenhang zu den komplexen Zahlen ist klar. x+iy ist Realteil plus Imaginärteil. und man quadriert um die Wurzel wegzubekommen.
aber wie kommt man von -0,5i + [mm] \wurzel{-1-i} [/mm] auf -1-i ?
was passiert mit den 0,5i? und was ist mit dem zweiten Term also [mm] z_2?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 24.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> der Zusammenhang zu den komplexen Zahlen ist klar. x+iy ist
> Realteil plus Imaginärteil.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> und man quadriert um die Wurzel wegzubekommen.
Auch das stimmt.
> aber wie kommt man von -0,5i + [mm]\wurzel{-1-i}[/mm] auf -1-i ?
Gar nicht, es geht darum die Wurzel umzuformen, so dass du
[mm] z_{1}=-0,5i+\sqrt{-1-i} [/mm] in [mm] z_{1}=a_{1}+ib_{1} [/mm] umformen zu können
Und dazu suchst du x und y, so dass [mm] (x+iy)^{2}=-1-i
[/mm]
Denn dann wird [mm] \sqrt{-1-i} [/mm] zu x+iy.
Und damit kannst du dann [mm] z_{1}=-0,5i+\sqrt{-1-i} [/mm] in [mm] z_{1}=a_{1}+ib_{1} [/mm] und [mm] z_{2}=-0,5i-\sqrt{-1-i}=a_{2}+ib_{2} [/mm] umformen, um diese dann zeichnen zu können.
> was passiert mit den 0,5i? und was ist mit dem zweiten
> Term also [mm]z_2?[/mm]
Wenn du [mm] \sqrt{-1-i} [/mm] zu x+iy umgeformt hast, ist das dann gar kein Problem mehr.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 24.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
>
> Gar nicht, es geht darum die Wurzel umzuformen, so dass du
> [mm]z_{1}=-0,5i+\sqrt{-1-i}[/mm] in [mm]z_{1}=a_{1}+ib_{1}[/mm] umformen zu
> können
aber wieso vernachlässige ich die -0,5 i? wäre es nicht sinnvoller zu sagen das -0,5i + [mm] \wurzel{-1-i} [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] * i
und damit weiterzurechnen?
>
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Hallo,
zum wiederholten Male:
> aber wieso vernachlässige ich die -0,5 i?
Weil man zunächst die Wurzel in der Form x+iy darstellen möchte und anschließend die [mm] -\bruch{i}{2} [/mm] zum Imaginärteil der Wurzel dazurechnet.
> wäre es nicht
> sinnvoller zu sagen das -0,5i + [mm]\wurzel{-1-i}[/mm] = [mm]a_1[/mm] + [mm]b_1[/mm] *
> i
Nein, offensichtlich nicht. Sonst wäre es dir gelungen?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay. probeweise habe ich das ganze mal für [mm] z^4 [/mm] = -1 berechnet
die reelen Zahlen 1 und -1 eins lese ich als komplexe Lösungen ab..über die Polynomdivision [mm] (z^4 [/mm] +1) : [mm] (z^2 [/mm] + 1) = [mm] z^2 [/mm] -1
also [mm] z^2 [/mm] = 1 wegen (i)² = 1 und (-i)²=1 sind i,(-i) weitere komplexe Lösungen der Gleichung..stimmt das so?
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Hallo Alex,
> okay. probeweise habe ich das ganze mal für [mm]z^4[/mm] = -1
> berechnet
> die reelen Zahlen 1 und -1 eins lese ich als komplexe
> Lösungen ab..über die Polynomdivision [mm](z^4[/mm] +1) : [mm](z^2[/mm] +
> 1) = [mm]z^2[/mm] -1
> also [mm]z^2[/mm] = 1 wegen (i)² = 1 und (-i)²=1 sind i,(-i)
> weitere komplexe Lösungen der Gleichung..stimmt das so?
Das ist großer Quark!
Lies mal, was du da schreibst, da graust es dich doch selber ...
Die "reelen" Zahlen 1 und -1 liest du als "komplexe Lösungen" ab
Was soll das denn?
[mm]1^4=1=(-1)^4\neq -1[/mm]
Also sind weder 1 noch -1 Lösungen von [mm]z^4=-1[/mm]
[mm]z^{\text{gerade Potenz}}=\text{was negatives}[/mm] hat überhaupt keine reelle Lösung ...
Du musst hier die Moivreformel nehmen.
Schau mal dort:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
entschuldige bitte. das neue Thema bringt mich irgendwie durcheinander..also die Moivereformel haben wir leider noch nie benutzt oder behandelt..gibt es denn keine andere Möglichkeit die Gleichung [mm] z^4 [/mm] = -1 zu lösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Als ziemlich rechenintensiven Weg kannst Du auch so vorgehen:
[mm]z^4 \ = \ (x+y*i)^4 \ = \ ... \ \text{(ausmultiplizieren, zusammenfassen etc.)} \ ... \ = \ -1+0*i \ = \ -1[/mm]
Anschließend geht es dann mit Koeffizentenvergleich weiter.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Hallo Alex!
>
>
> Als ziemlich rechenintensiven Weg kannst Du auch so
> vorgehen:
>
> [mm]z^4 = \ (x+y*i)^4 \ = \ ... \ \text{(ausmultiplizieren, zusammenfassen etc.)} \ ... \ = \ -1+0*i \ = \ -1[/mm]
ich habe umgeformt zu:
x²*(x²+4xyi-3y²-y) + y² * (2xyi-2xi+y)
stimmt das so? wie kann ich nun weiter umformen?
>
> Anschließend geht es dann mit Koeffizentenvergleich
> weiter.
>
>
> Gruß
> Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ok dann schreibe ich meine Schritte mal aus:
[mm] (x^2+2xy*i+y^2*i^2)*(x^2+2xy*i+y^2*i^2)
[/mm]
[mm] =x^4+4x^3yi+6x^2y^2*i^2+4xy^3*i^3+y^4*i^4
[/mm]
also: [mm] x^4+4x^3y*i-6x^2y^2-4xy^3*i+y^4
[/mm]
[mm] =x^4-6x^2y^2-y^4 [/mm]
und nun? stimmts diesmal?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Auch hierauf wurdest Du schon hingewiesen (siehe hier): zitiere mit Bedacht und nicht stumpf alles!
Und lösche nicht benötigte Zeilen raus.
Wenn Du auf Hinweise nicht eingehst, können wir es hier auch sein lassen (zumindest von meiner Seite aus).
> ups ich meinte natürlich:
> [mm]x^4[/mm] + [mm]4x^{3}yi[/mm] - [mm]6x^{2}y^{2}[/mm] - [mm]4xy^{3}i[/mm] + [mm]y^{4}[/mm]
Das hattest Du oben bereits schon.
> wie mach ich dann nun weiter?
Sortiere nun nach Realteilen und Imaginärteilen.
[mm] $\red{\text{(Realteil)}}+\blue{\text{(Imaginärteil)}}*i [/mm] \ = \ [mm] \red{-1}+\blue{0}*i$
[/mm]
Daraus folgt dann mittels Koeffizientenvergleich (wie Dir auch schon hier geschrieben wurde):
[mm] $\red{\text{(Realteil)}} [/mm] \ = \ [mm] \red{-1}$
[/mm]
[mm] $\blue{\text{(Imaginärteil)}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{0}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
> Wenn Du auf Hinweise nicht eingehst, können wir es hier
> auch sein lassen (zumindest von meiner Seite aus).
entschuldige ich wusste nicht genau wie das gemeint war.
> Sortiere nun nach Realteilen und Imaginärteilen.
>
> [mm]\red{\text{(Realteil)}}+\blue{\text{(Imaginärteil)}}*i \ = \ \red{-1}+\blue{0}*i[/mm]
>
also:
[mm] (x^4 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] - [mm] 6x^{2}y^{2} [/mm] ) + [mm] (4x^{3}y [/mm] - [mm] 4xy^{3})*i
[/mm]
> Daraus folgt dann mittels Koeffizientenvergleich
ich weiß leider nicht genau was Koeffizientenvergleich bedeutet, daher habe ich dies im Internet nachgelesen..leider kann ich das nicht genau auf diesen Term hier beziehen..weil man doch immer 2 Terme braucht...habe ich falsch sortiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> [mm](x^4[/mm] + [mm]y^4[/mm] - [mm]6x^{2}y^{2}[/mm] ) + [mm](4x^{3}y[/mm] - [mm]4xy^{3})*i[/mm]
> ich weiß leider nicht genau was Koeffizientenvergleich bedeutet
Siehe Dir meine letzte Antwort an.
Da habe ich Dir die beiden Bestimmungsgleichungen schon verbal vorgegeben, und das auch noch farblich unterlegt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
entschuldige bitte wenn ich auf dem Holzweg bin aber:
setzt man hier also 0 in den imaginär-Teil und -1 in den Realteil?
dann erhalte ich aber doch:
(1+1+6)+ (0+0)*i = -1
und das stimmt ja nicht...was mache ich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Der Realteil unserer gesuchten Lösungen lautet: [mm] $x^4-6*x^2*y^2+y^4$ [/mm] .
Der Imaginärteil lautet: [mm] $4*x^3*y-4*x*y^3$ [/mm] .
Wie lauten also die Bestimmungsgleichungen?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:19 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
meinst du als Bestimmungsgleichungen:
[mm] x^4 [/mm] + [mm] y^4 -6x^{2}y=x [/mm] (wegen Realteil)
und
[mm] 4x^{3}y-4xy^{3}=y [/mm] (wegen Imaginärteil)
oder was ist mit Bestimmungsgleichungen gemeint?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Bitte lies Dir meine letzten Antworten mal in Ruhe durch; insbesondere, wo ich das auch noch (in meinen Augen: mehr als) deutlich mit Farben markiert habe.
Dem ist m.E. erstmal nichts hinzuzufügen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ich habe mir das mehrmals durchgelesen und wegen [mm] z^4 [/mm] = -1 folgt ja das
-1 + 0*i = Realteil + Imaginärteil *i
also habe ich doch:
[mm] x^4 [/mm] + [mm] y^4 -6x^{2}y{2}=-1
[/mm]
und
[mm] 4x^{3}y [/mm] - [mm] 4xy^{3} [/mm] = 0
meinst du das so oder nicht? bitte antworte mir wenigstens darauf sonst bin ich auf dem Holzweg :-(
Klar, eine Bestimmungsgleichung kann auch eine Variable enthalten die als Parameter zählt..Wie löse ich diese Gleichungen jetzt auf? oder was ist nun gefragt?
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Hallo Alex1993,
> ich habe mir das mehrmals durchgelesen und wegen [mm]z^4[/mm] = -1
> folgt ja das
> -1 + 0*i = Realteil + Imaginärteil *i
> also habe ich doch:
> [mm]x^4[/mm] + [mm]y^4 -6x^{2}y{2}=-1[/mm]
> und
> [mm]4x^{3}y[/mm] - [mm]4xy^{3}[/mm] = 0
> meinst du das so oder nicht? bitte antworte mir wenigstens
> darauf sonst bin ich auf dem Holzweg :-(
Die Gleichungen sind richtig.
> Klar, eine Bestimmungsgleichung kann auch eine Variable
> enthalten die als Parameter zählt..Wie löse ich diese
> Gleichungen jetzt auf? oder was ist nun gefragt?
Wende auf die letzte Gleichung den Satz vom Nullprodukt an.
Dann bekommst Du mehrere Fälle.
Für jeden Fall ist dann die erste Gleichung zu lösen.
Beachte, dass es hier nur reelle Lösungen für x und y geben darf.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Danke für deine Antwort
wenn ich das richtig verstehe erhalte ich dann
[mm] 4x^3= [/mm] 0 also auch 4x=0 also x=0
oder
[mm] 4y^3=0 [/mm] also auch 4y=0 also y=0
stimmt das so?
wenn ich das oben einsetze erhalte ich jedoch wieder
[mm] 1.y^4 [/mm] = -1
2. [mm] x^4 [/mm] =-1
und das sind doch wieder die Ursprungsterme..wo liegt denn mein Fehler?
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Hallo Alex1993,
> Danke für deine Antwort
> wenn ich das richtig verstehe erhalte ich dann
> [mm]4x^3=[/mm] 0 also auch 4x=0 also x=0
> oder
> [mm]4y^3=0[/mm] also auch 4y=0 also y=0
> stimmt das so?
Nein, das stimmt nicht so.
Der Ausdruck
[mm]4x^{3}y-4xy^{3}[/mm]
ist zunächst zu faktorisieren.
Siehe dazu hier.
> wenn ich das oben einsetze erhalte ich jedoch wieder
> [mm]1.y^4[/mm] = -1
> 2. [mm]x^4[/mm] =-1
> und das sind doch wieder die Ursprungsterme..wo liegt denn
> mein Fehler?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
stimmt es indem ich beispielsweise schreibe:
[mm] x*(4x^{2}y-4y^{3})=0
[/mm]
und jetzt 1. x=0
2. [mm] 4x^{2}y-4y^{3} [/mm] ?
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Hallo Alex1993,
> stimmt es indem ich beispielsweise schreibe:
> [mm]x*(4x^{2}y-4y^{3})=0[/mm]
> und jetzt 1. x=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. [mm]4x^{2}y-4y^{3}[/mm] ?
Auf diesen übriggebliebenen Faktor
kannst Du wieder den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Das machst Du solange bis Du nicht mehr weiter
faktorisieren kannst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke
dann erhalte ich durch weiteres faktorisieren:
4y * ( 4x * [mm] 4y^2 [/mm] )
--> y=0
0= x * [mm] y^2
[/mm]
x= [mm] -y^2
[/mm]
das setze ich in die erste Gleichung ein und erhalte:
[mm] y^6 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] - [mm] 6y^5 [/mm] = -1
doch wie forme ich nun weiter um? denn wenn ich (+1) rechne kann ich ja nicht mehr faktorisieren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> dann erhalte ich durch weiteres faktorisieren:
> 4y * ( 4x * [mm]4y^2[/mm] )
> --> y=0
> 0= x * [mm]y^2[/mm]
> x= [mm]-y^2[/mm]
Sorry, aber das ist doch alles Mumpitz! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Die Gleichung [mm] $4*x^3*y-4*x*y^3 [/mm] \ = \ 0$ lässt sich wie folgt faktorisieren (durch Ausklammern und binomischer Formel):
$0 \ = \ [mm] 4*x*y*\left(x^2-y^2\right) [/mm] \ = \ 4*x*y*(x-y)*(x+y)$
Damit ergeben sich nun folgende möglichen Lösungen:
$x \ = \ 0$
$y \ = \ 0$
$x \ = \ y$
$x \ = \ -y$
Nun jeweils für sich in die andere Gleichung einsetzen.
Dabei solltest Du feststellen, dass die ersten beiden Lösungskandidaten ausscheiden (warum?).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
wenn ich Null einsetze kommt nunmal nicht -1 heraus.
deshalb funktionieren nur die letzten beiden.
setzte ich [mm] x_3 [/mm] in die erste Gleichung ein erhalte ich:
[mm] 2y^4-6y^3 [/mm] = -1
mit p/q Formel oder durch quadrieren kann ich an dieser Stelle ja nicht auflösen. Was mach ich stattdessen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ich habe die Gleichung leider falsch übernommen daher entstand der Fehler..
also wenn ich richtig einsetze erhalte ich:
[mm] -4y^4 [/mm] = -1
[mm] y^4 [/mm] = 0,25
y = 0,707
für -y erhalte ich genau das selbe, da es ausschließlich gerade Potenzen sind. Wegen x= y erhalte ich einmal [mm] x_1= [/mm] 0,707
und wegen [mm] x_2 [/mm] = -y erhalte ich [mm] x_2 [/mm] = -0,707
also lautet der Term :
(x+iy)
1: (0,707+0,707i)
2: (-0,707+0,707i)
bitte sag mir das das diesmal stimmt:-P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Nein, das stimmt immer noch nicht ganz.
Denn die Gleichung [mm] $y^4 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] hat zwei Lösungen.
Und verwende keine gerundeten Werte, wenn möglich.
Außerdem nennst Du hier nur zwei Lösungen für die Gleichung [mm] $z^4 [/mm] \ = \ -1$ .
In [mm] $\IC$ [/mm] musst Du aber insgesamt 4 Lösungen erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay dann [mm] y_1= \wurzel[4]{0,25} [/mm]
[mm] y_2= -\wurzel[4]{0,25}
[/mm]
habe ich dann am Ende 4 Lösungen der Gleichungen?
wegen x=y
[mm] (\wurzel[4]{0,25} [/mm] + [mm] \wurzel[4]{0,25} [/mm] * i)
und
[mm] (-\wurzel[4]{0,25}- \wurzel[4]{0,25})
[/mm]
und wegen x=-y
[mm] (-\wurzel[4]{0,25} [/mm] + [mm] \wurzel[4]{0,25} [/mm] * i)
und
[mm] (\wurzel[4]{0,25} [/mm] - [mm] \wurzel[4]{0,25} [/mm] * i)
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay dann [mm]y_1= \wurzel[4]{0,25}[/mm]
Das geht einfacher:
Aus [mm] y^{4}=\frac{1}{4} [/mm] folgt [mm] (y^{2})^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2} [/mm] oder [mm] (y^{2})^{2}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}
[/mm]
Aus diesen Gleichungen bestimme nun die vier Lösungen für y.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Nun wird es endlich richtig.
Und wie Marius schon andeutete:
[mm] $\wurzel[4]{0{,}25}$ [/mm] kann man noch umwandeln in [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
