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"Eine Regentonne hat ein Loch. Das Wasser strömt umso schneller aus, je voller die Tonne ist. Für das übrig gebliebene Füllvolumen V(t) gilt die DGL
[mm] \bruch{dV}{dt} [/mm] = [mm] -\wurzel{ \beta V} [/mm] mit [mm] \beta [/mm] = 7 [mm] \* 10^{-6} \bruch{m^{3}}{s^{2}}
[/mm]
Wenn zur Zeit t=0 das Volumen [mm] V_{0} [/mm] = [mm] 0,3m^{3} [/mm] beträgt, nach welcher Zeit ist dann die Tonne leer?"
Ich suche die Lösung dieser Aufgabe und hätte noch eine kurze Frage was dieses "d" bedeutet, hab das bisher noch nie so gehabt. DANKE!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mo 03.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
erstmal zu deiner zweiten frage:
> Ich suche die Lösung dieser Aufgabe und hätte noch eine
> kurze Frage was dieses "d" bedeutet, hab das bisher noch
> nie so gehabt. DANKE!
das [mm] $\textrm{d}$ [/mm] ist - geschwollen ausgedrückt - ein differentialoperator, wobei z.b. [m] \frac{\textrm{d} y}{\textrm{d}x} [/m] einfach nur bedeutet: ableitung der funktion $y$ nach der variablen $x$, wenn $y$ eine funktion von $x$ ist. es ist im prinzip nur eine andere schreibweise für $y'(x)$!, also wenn z.b. [m] y(x) = x^2 [/m], dann ist [m] \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = 2x (= y'(x)) [/m].
> "Eine Regentonne hat ein Loch. Das Wasser strömt umso
> schneller aus, je voller die Tonne ist. Für das übrig
> gebliebene Füllvolumen V(t) gilt die DGL
>
> [mm]\bruch{dV}{dt}[/mm] = [mm]-\wurzel{ \beta V}[/mm] mit [mm]\beta[/mm] = 7 [mm]\* 10^{-6} \bruch{m^{3}}{s^{2}}
[/mm]
hier hast du eine funktion [m] V(t) [/m] und eine gelichung [m] \frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t} = - \sqrt{\beta} \sqrt{V} [/m]. um die differntialgleichung nach $V$ zu lösen - das ist ja das was du zuerst mal machen solltest - teilt man nun in der gleichung
[m] \frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t} = - \sqrt{\beta} \sqrt{V} [/m]
durch [m] \sqrt{V} [/m] (dazu muss man natürlich erstmal vorraussetzen, dass dies ungleich null ist) und erhält
[m] \frac{ \frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t}}{ \sqrt{V}} = - \sqrt{\beta}[/m]
integriert man auf beiden seiten nach $t$, so erhält man (wenn man wie ein physiker rechnet kann man bei [m] \frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t} \, \textrm{d} t = \textrm{d} V [/m] kürzen):
[m] \int \frac{ \frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t}}{ \sqrt{V}} \, \textrm{d}t = \int - \sqrt{\beta} \, \textrm{d} t [/m]
[m] \int \frac{\textrm{d}V}{ \sqrt{V}} = \int - \sqrt{\beta} \, \textrm{d} t [/m]
jetzt kann man ganz normal integrieren, wobei man im rechten integral einfach beachten muss, dass [m] \beta [/m] eine konstante bezüglich [m] t [/m] ist. danach muss man die gelichung nur noch nach $V$ auflösen auf beiden seiten quadriert. die integrationskonstante nich vergessen (die kannst du aber natürlich beide zu einer zusammenfassen)! du kannst ja mal versuchen, wie weit du kommst und dann dein ergebnis hier reinstellen, das schaut sich dann bestimmt jemand an!
> Wenn zur Zeit t=0 das Volumen [mm]V_{0}[/mm] = [mm]0,3m^{3}[/mm] beträgt,
> nach welcher Zeit ist dann die Tonne leer?"
ach ja die angabe [m] V(0) = 0,3 m^3 [/m] brauchst du um die integrationskonstante zu bestimmen!
viel spass beim rechnen.
grüße
andreas
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