Lösung der Gleichungen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 16.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | z sei eine komplexe Lösung der Gleichung [mm] z^4+z^3+z^2+z+1=0. [/mm] Zeige:
(i) [mm] \overline{z} [/mm] = [mm] z^{-1} [/mm] , (ii) [mm] z+z^{-1} [/mm] genügt einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten
(iii) Drücke Real- und Imaginärteil von z mit Hilfe von reellen Quadratwurzeln aus. Wieviele Lösungen z gibt es? Wo liegen diese Lösungen in der komplexen Zahlenebene? |
Hallo!
Ich habe zu dieser Aufgabe Tipps gelesen und zwar:
(i) Gleichung mit (z-1) mulitiplizieren
(ii) Gleichung durch [mm] z^2 [/mm] teilen und dann versuchen [mm] (\bruch{z+1}{z})^2 [/mm] auszuklammern
(iii) [mm] z+\overline{z}=a+bi [/mm] + a-bi=... und dann die Gleichung aus (ii) einsetzen.
Nur irgendwie komme ich mit diesen Tipps auch nich so recht weiter.
Wenn ich bei (i) mit (z-1) multiplizier bekomme ich:
[mm] z^5-1=0
[/mm]
Nur was soll ich damit anfangen?
Bei (ii) [mm] (\bruch{z+1}{z})^2*z^2+z+1=0
[/mm]
Kann mir bitte jemand helfen :(
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Do 16.10.2008 | | Autor: | abakus |
> z sei eine komplexe Lösung der Gleichung [mm]z^4+z^3+z^2+z+1=0.[/mm]
> Zeige:
>
> (i) [mm]\overline{z}[/mm] = [mm]z^{-1}[/mm] , (ii) [mm]z+z^{-1}[/mm] genügt einer
> quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten
> (iii) Drücke Real- und Imaginärteil von z mit Hilfe von
> reellen Quadratwurzeln aus. Wieviele Lösungen z gibt es? Wo
> liegen diese Lösungen in der komplexen Zahlenebene?
> Hallo!
> Ich habe zu dieser Aufgabe Tipps gelesen und zwar:
>
> (i) Gleichung mit (z-1) mulitiplizieren
> (ii) Gleichung durch [mm]z^2[/mm] teilen und dann versuchen
> [mm](\bruch{z+1}{z})^2[/mm] auszuklammern
> (iii) [mm]z+\overline{z}=a+bi[/mm] + a-bi=... und dann die
> Gleichung aus (ii) einsetzen.
>
> Nur irgendwie komme ich mit diesen Tipps auch nich so recht
> weiter.
> Wenn ich bei (i) mit (z-1) multiplizier bekomme ich:
>
> [mm]z^5-1=0[/mm]
>
> Nur was soll ich damit anfangen?
>
> Bei (ii) [mm](\bruch{z+1}{z})^2*z^2+z+1=0[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand helfen :(
Aus [mm] z^5-1=0 [/mm] folgt [mm] z^5=1. [/mm] Die 5 Lösungen dieser Gleichung lassen sich mit der Formel von Moivre leicht ermitteln.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Do 16.10.2008 | | Autor: | abakus |
> > z sei eine komplexe Lösung der Gleichung [mm]z^4+z^3+z^2+z+1=0.[/mm]
> > Zeige:
> >
> > (i) [mm]\overline{z}[/mm] = [mm]z^{-1}[/mm] , (ii) [mm]z+z^{-1}[/mm] genügt einer
> > quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten
> > (iii) Drücke Real- und Imaginärteil von z mit Hilfe von
> > reellen Quadratwurzeln aus. Wieviele Lösungen z gibt es? Wo
> > liegen diese Lösungen in der komplexen Zahlenebene?
> > Hallo!
> > Ich habe zu dieser Aufgabe Tipps gelesen und zwar:
> >
> > (i) Gleichung mit (z-1) mulitiplizieren
> > (ii) Gleichung durch [mm]z^2[/mm] teilen und dann versuchen
> > [mm](\bruch{z+1}{z})^2[/mm] auszuklammern
> > (iii) [mm]z+\overline{z}=a+bi[/mm] + a-bi=... und dann die
> > Gleichung aus (ii) einsetzen.
> >
> > Nur irgendwie komme ich mit diesen Tipps auch nich so recht
> > weiter.
> > Wenn ich bei (i) mit (z-1) multiplizier bekomme ich:
> >
> > [mm]z^5-1=0[/mm]
> >
> > Nur was soll ich damit anfangen?
> >
> > Bei (ii) [mm](\bruch{z+1}{z})^2*z^2+z+1=0[/mm]
> >
> > Kann mir bitte jemand helfen :(
>
> Aus [mm]z^5-1=0[/mm] folgt [mm]z^5=1.[/mm] Die 5 Lösungen dieser Gleichung
> lassen sich mit der Formel von Moivre leicht ermitteln.
> Gruß Abakus
>
>
Ach so, und z+1/z ist hier 2*cos 72° (bzw. -2*cos 72°). Der Wert dieses Terms ist Lösung einer quadratischen Gleichung (hängt irgendwie mit dem goldenen Schnitt zusammen, da steckt was mit [mm] \wurzel{5} [/mm] drin).
Abakus
|
|
|
|
