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| Aufgabe | Ermitteln Sie die allgemeinen Lösungen folgender Dgl.:
a) y'-2(y-sin(x))=cos(x)
b) [mm] y'(x^2-y^2)=2y(x-y) [/mm] |
Hallo libe Mitglieder,
bei der Aufgabe a) habe ich ja noch ein zwei Ideen. Zunächst würde ich die Klammer auflösen, sin(x) auf die rechte Seite bringen und dann mit Hilfe der Variation der Konstanten die Geschichte lösen. Nur jetzt bin ich an einem Punkt und komme nicht weiter.
K'(x)e^2x=cos(x)+2sin(x)
ab hier hört es auf. Ich wollte jetzt Integrieren um K(x) heraus zu bekommen, nur scheint mir das unmöglich.
Aufgabe b):
Hier habe ich leider gar keine Idee.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
LG Maike
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Hallo!
> Ermitteln Sie die allgemeinen Lösungen folgender Dgl.:
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> a) y'-2(y-sin(x))=cos(x)
>
> b) [mm]y'(x^2-y^2)=2y(x-y)[/mm]
> Hallo libe Mitglieder,
>
> bei der Aufgabe a) habe ich ja noch ein zwei Ideen.
> Zunächst würde ich die Klammer auflösen, sin(x) auf die
> rechte Seite bringen und dann mit Hilfe der Variation der
> Konstanten die Geschichte lösen. Nur jetzt bin ich an
> einem Punkt und komme nicht weiter.
>
> K'(x)e^2x=cos(x)+2sin(x)
Ich glaube, es lautet [mm] $K'(x)e^2x=cos(x)\red{-}2sin(x)$
[/mm]
Du kannst doch schreiben:
$K'(x) = [mm] \frac{\cos(x)-2*\sin(x)}{e^{2x}} [/mm] = [mm] e^{-2x}*(\cos(x)-2*\sin(x))$
[/mm]
und dann ist
$K(x) = [mm] e^{-2x}*\sin(x)$.
[/mm]
(Evtl. partielle Integration oder "Hinsehen"  )
> Aufgabe b):
>
> Hier habe ich leider gar keine Idee.
Wenn ich schreibe:
[mm] $y'(x^2-y^2)=2y(x-y)$
[/mm]
(3. Binomische Formel)
[mm] $\gdw [/mm] y'*(x-y)*(x+y) = 2y*(x-y)$
[mm] $\gdw [/mm] y' = [mm] \frac{2y}{x+y}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y' = [mm] \frac{2}{\frac{x}{y}+1}$,
[/mm]
bekommst du dann eine Idee ?
Grüße,
Stefan
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Zu a)
hier komme ich jetzt auf folgende Lösung y=sin(x)*e^-2x*e^2x. Nur scheint mir das immer noch nicht richtig zu sein oder?!
Ich bin echt ratlos.
Zu b)
Nach deinem Tipp würde ich das mit einer Substitution versuchen.
Nur leider hat mich das auch nicht zum gewünschten Ergebnis geführt.
u+u'x= 2/(x/u*x)+1
Nur leider bringt mich das auch nicht weiter.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
LG Maike
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Hallo!
> Zu a)
>
> hier komme ich jetzt auf folgende Lösung
> y=sin(x)*e^-2x*e^2x. Nur scheint mir das immer noch nicht
> richtig zu sein oder?!
> Ich bin echt ratlos.
Deine Lösung ist also $y(x) = [mm] \sin(x)$ [/mm] (Die Potenzen fallen nach den Potenzgesetzen sich weg) . Wie du leicht nachprüfen kannst, ist das eine richtige Lösung der DGL. Aber: Du musst irgendwo eine Integrationskonstante gehabt haben, die du nicht mitgeführt hast. Guck nochmal, wo du integrierst, und addier' nach der Integration noch ein [mm] C\in \IR.
[/mm]
Bis jetzt hast du also nur eine spezielle Lösung der DGL, aber noch nicht alle.
> Zu b)
>
> Nach deinem Tipp würde ich das mit einer Substitution
> versuchen.
> Nur leider hat mich das auch nicht zum gewünschten
> Ergebnis geführt.
>
> u+u'x= 2/(x/u*x)+1
>
> Nur leider bringt mich das auch nicht weiter.
$y' = [mm] \frac{2}{\frac{x}{y}+1}$
[/mm]
Du hast eine ÄhnlichkeitsDGL, also substituierst du $y(x) = u(x)*x [mm] \gdw [/mm] u(x) = [mm] \frac{y(x)}{x}$.
[/mm]
Dann ist oben eingesetzt:
$y' = [mm] \frac{2}{u^{-1}+1}$
[/mm]
Und du hast:
$u'(x) = [mm] \frac{y'(x)*x-y(x)}{x^{2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{x}*\left(y'(x) - u(x)\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{x}*\left(\frac{2}{u^{-1}+1} - u\right)$.
[/mm]
Nun hast du für u(x) eine hübsche DGL für die Technik der Trennung der Variablen. Probier's!
Grüße,
Stefan
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