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Forum "Analysis-Sonstiges" - Lösung der DGL: Wachstum
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Lösung der DGL: Wachstum: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Do 06.11.2014
Autor: linolada

Aufgabe
Bestimme alle Lösungen der DGL bei logistischem Wachstum.

Hallo, ich hänge momentan bei der Integration fest. Meine bisherigen Lösungsansätze lauten:

1. [mm] k=\bruch{f'(t)}{f(t)*(S-f(t))} [/mm]

2. Partialbruchzerlegung & Einführung von Korrekturfaktoren führen zu:

k = A * [mm] \bruch{f'(t)}{f(t)} [/mm] + B * [mm] \bruch{f'(t)}{(S-f(t))} [/mm] = [mm] \bruch{f'(t)}{f(t)*(S-f(t))} [/mm]

Um diese GL zu lösen, muss [mm] A=B=\bruch{1}{S}. [/mm] (Wäre schön, wenn mir das auch jmd. genauer erklären könnte. Aber kein "Muss" :) )
3. Zusammengefasst ist das dann:

k = [mm] \bruch{1}{S} [/mm] * [mm] \bruch{f'(t)}{f(t)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{S} [/mm] * [mm] \bruch{f'(t)}{S-f(t)} [/mm]

4. Ich würde gerne von 0 nach t integrieren. Die Lösung habe ich schon:

kt = [mm] \bruch{1}{S} [/mm] * [mm] ln(\bruch{f(t)}{f(0)})-\bruch{1}{S} [/mm] *ln( [mm] \frac{S-f(t)}{S-f(0)}) [/mm]

Hauptproblem: Ich verstehe nicht ganz woher das "-" beim ln kommt. Ich freue mich auf gute Erklärungen! Vielen Dank! :)

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt[http://www.onlinemathe.de/forum/Logistisches-Wachstum-Loesung-der-DGL-6]

        
Bezug
Lösung der DGL: Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Do 06.11.2014
Autor: andyv

Hallo,

Stichwort: Kettenregel!

Nach dieser ist $ [mm] \bruch{f'(t)}{S-f(t)} [/mm] =- [mm] \bruch{-f'(t)}{S-f(t)}=-\frac{d}{dt}\ln(S-f(t)) [/mm] $

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Lösung der DGL: Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Do 06.11.2014
Autor: linolada

Ich verstehe leider nicht ganz, welche Rolle hier nun die Kettenregel spielt, da ich diese nur im Zusammenhang des Ableitens kenne. Also ich hätte den ln jetzt folgendermaßen abgeleitet:

[mm] \bruch{1}{S-f(t)}*f'(t) [/mm]

Danke für die schnelle Antwort!

Bezug
                        
Bezug
Lösung der DGL: Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Do 06.11.2014
Autor: andyv

Das ist aber falsch, weil die Ableitung von S-f nicht f' ist, sondern -f'.

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
Lösung der DGL: Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Do 06.11.2014
Autor: linolada

Vielen Dank! Stimmt, da ich S als ganz normale Zahl sehen kann, fällt die beim Ableiten ja weg und f(t) wird lediglich zu f'(t). Allerdings ist mir noch unschlüssig, wohin das f'(t) aus dem Zähler beim Integrieren verschwindet.
Was mich verwirrt, ist die Tatsache, dass in einem Schritt steht: [mm] \bruch{f'(t)}{(S-f(t))}, [/mm] dass integriert ergibt -ln( [mm] \bruch{1}{S-f(t)}). [/mm] Wenn man dies nun wieder ableitet, muss ja scheinbar [mm] \bruch{-f'(t)}{S-f(t)} [/mm] rauskommen.
Aber wie kann [mm] \bruch{-f'(t)}{S-f(t)}=\bruch{f'(t)}{S-f(t)} [/mm] sein? Oder habe ich da einen Denkfehler?

Bezug
                                        
Bezug
Lösung der DGL: Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Do 06.11.2014
Autor: linolada

Ich meinte natürlich, dass es abgeleitet -ln(S-f(t)) ergibt.

Bezug
                                        
Bezug
Lösung der DGL: Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:00 Do 06.11.2014
Autor: chrisno

In Ruhe ableiten:
$ [mm] -\ln(\bruch{1}{S-f(t)})$ [/mm] ist eine Verkettung von Funktionen
Äußere Ableitung [mm] $(-\ln(x))' [/mm] = [mm] -\br{1}{x}$ [/mm]
Innere Ableitung $(S-f(t))' = -f'(t)$
Zusammen [mm] $-\br{1}{S-f(t)}\cdot [/mm] (-f'(t)) = [mm] \br{f'(t)}{S-f(t)}$ [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Lösung der DGL: Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:26 Fr 07.11.2014
Autor: linolada

Herzlichen Dank für die super Hilfe!! Jetzt hatte ich den Heureka-Moment! :) Ich kann mich gar nicht genug bedanken, vor allem für die schnellen Antworten!

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