Lösung der DGL: Wachstum < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Do 06.11.2014 | | Autor: | linolada |
| Aufgabe | | Bestimme alle Lösungen der DGL bei logistischem Wachstum. |
Hallo, ich hänge momentan bei der Integration fest. Meine bisherigen Lösungsansätze lauten:
1. [mm] k=\bruch{f'(t)}{f(t)*(S-f(t))}
[/mm]
2. Partialbruchzerlegung & Einführung von Korrekturfaktoren führen zu:
k = A * [mm] \bruch{f'(t)}{f(t)} [/mm] + B * [mm] \bruch{f'(t)}{(S-f(t))} [/mm] = [mm] \bruch{f'(t)}{f(t)*(S-f(t))}
[/mm]
Um diese GL zu lösen, muss [mm] A=B=\bruch{1}{S}. [/mm] (Wäre schön, wenn mir das auch jmd. genauer erklären könnte. Aber kein "Muss" :) )
3. Zusammengefasst ist das dann:
k = [mm] \bruch{1}{S} [/mm] * [mm] \bruch{f'(t)}{f(t)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{S} [/mm] * [mm] \bruch{f'(t)}{S-f(t)}
[/mm]
4. Ich würde gerne von 0 nach t integrieren. Die Lösung habe ich schon:
kt = [mm] \bruch{1}{S} [/mm] * [mm] ln(\bruch{f(t)}{f(0)})-\bruch{1}{S} [/mm] *ln( [mm] \frac{S-f(t)}{S-f(0)})
[/mm]
Hauptproblem: Ich verstehe nicht ganz woher das "-" beim ln kommt. Ich freue mich auf gute Erklärungen! Vielen Dank! :)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt[http://www.onlinemathe.de/forum/Logistisches-Wachstum-Loesung-der-DGL-6]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
Stichwort: Kettenregel!
Nach dieser ist $ [mm] \bruch{f'(t)}{S-f(t)} [/mm] =- [mm] \bruch{-f'(t)}{S-f(t)}=-\frac{d}{dt}\ln(S-f(t)) [/mm] $
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 06.11.2014 | | Autor: | linolada |
Ich verstehe leider nicht ganz, welche Rolle hier nun die Kettenregel spielt, da ich diese nur im Zusammenhang des Ableitens kenne. Also ich hätte den ln jetzt folgendermaßen abgeleitet:
[mm] \bruch{1}{S-f(t)}*f'(t)
[/mm]
Danke für die schnelle Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
Das ist aber falsch, weil die Ableitung von S-f nicht f' ist, sondern -f'.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 06.11.2014 | | Autor: | linolada |
Vielen Dank! Stimmt, da ich S als ganz normale Zahl sehen kann, fällt die beim Ableiten ja weg und f(t) wird lediglich zu f'(t). Allerdings ist mir noch unschlüssig, wohin das f'(t) aus dem Zähler beim Integrieren verschwindet.
Was mich verwirrt, ist die Tatsache, dass in einem Schritt steht: [mm] \bruch{f'(t)}{(S-f(t))}, [/mm] dass integriert ergibt -ln( [mm] \bruch{1}{S-f(t)}). [/mm] Wenn man dies nun wieder ableitet, muss ja scheinbar [mm] \bruch{-f'(t)}{S-f(t)} [/mm] rauskommen.
Aber wie kann [mm] \bruch{-f'(t)}{S-f(t)}=\bruch{f'(t)}{S-f(t)} [/mm] sein? Oder habe ich da einen Denkfehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Do 06.11.2014 | | Autor: | linolada |
Ich meinte natürlich, dass es abgeleitet -ln(S-f(t)) ergibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Do 06.11.2014 | | Autor: | chrisno |
In Ruhe ableiten:
$ [mm] -\ln(\bruch{1}{S-f(t)})$ [/mm] ist eine Verkettung von Funktionen
Äußere Ableitung [mm] $(-\ln(x))' [/mm] = [mm] -\br{1}{x}$
[/mm]
Innere Ableitung $(S-f(t))' = -f'(t)$
Zusammen [mm] $-\br{1}{S-f(t)}\cdot [/mm] (-f'(t)) = [mm] \br{f'(t)}{S-f(t)}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Fr 07.11.2014 | | Autor: | linolada |
Herzlichen Dank für die super Hilfe!! Jetzt hatte ich den Heureka-Moment! :) Ich kann mich gar nicht genug bedanken, vor allem für die schnellen Antworten!
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