Lösung/Konvergenz Iteration < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Mo 31.03.2014 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Menge aller Startwerte [mm] x_{0} \in \IR, [/mm] für die die Iteration
[mm] x_{k+1}=cos(x_{k})
[/mm]
konvergiert. Zeigen Sie, dass der Grenzwert die Gleichung x=cos(x) erfüllt, und bestimmen Sie die Anzahl der reellen Lösungen dieser Gleichungen. |
Hallo ihr Lieben,
Wir sollen das Problem naturlich mit dem banachschen Fixpunktsatz lösen.
[mm] f(x_{n})=x_{k+1}=cos(x_{k})
[/mm]
Aber mein Problem ist
Selbstabb. [-1,1]-> [-1,1] ist ja eig. klar
|f'(x)|=|-sin(x)|=|sin(x)| [mm] \le [/mm] 1 aber es muss ja < 1 sein?
wie zeige ich das alles genau? Irgendwie bin ich hier verwirrt =/
Danke für eure Hilfe
Grüße lisa2802
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mo 31.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Lisa,
> Ermitteln Sie die Menge aller Startwerte [mm]x_{0} \in \IR,[/mm]
> für die die Iteration
>
> [mm]x_{k+1}=cos(x_{k})[/mm]
>
> konvergiert. Zeigen Sie, dass der Grenzwert die Gleichung
> x=cos(x) erfüllt, und bestimmen Sie die Anzahl der reellen
> Lösungen dieser Gleichungen.
> Hallo ihr Lieben,
>
> Wir sollen das Problem naturlich mit dem banachschen
> Fixpunktsatz lösen.
> [mm]f(x_{n})=x_{k+1}=cos(x_{k})[/mm]
> Aber mein Problem ist
> Selbstabb. [-1,1]-> [-1,1] ist ja eig. klar
Das gilt nur dann, wenn in der Aufgabenstellung auch steht,
dass ihr dazu folgende Funktion betrachtet:
[mm] f:[-1,1]\to\IR:x\to\cos(x).
[/mm]
Außerdem solltest du am Anfang schreiben, dass das vorgege-
bene Intervall [-1,1] nicht leer ist, denn das gehört zum
Fixpunktsatz von Banach dazu (auch wenn es hier klar ist)!
> |f'(x)|=|-sin(x)|=|sin(x)| [mm]\le[/mm] 1 aber es muss ja < 1
> sein?
Der Ansatz ist richtig.
Tipp: [mm] x\in[-1,1].
[/mm]
> wie zeige ich das alles genau? Irgendwie bin ich hier
> verwirrt =/
>
>
> Danke für eure Hilfe
>
> Grüße lisa2802
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mo 31.03.2014 | | Autor: | lisa2802 |
> Hallo Lisa,
>
>
> > Ermitteln Sie die Menge aller Startwerte [mm]x_{0} \in \IR,[/mm]
> > für die die Iteration
> >
> > [mm]x_{k+1}=cos(x_{k})[/mm]
> >
> > konvergiert. Zeigen Sie, dass der Grenzwert die Gleichung
> > x=cos(x) erfüllt, und bestimmen Sie die Anzahl der reellen
> > Lösungen dieser Gleichungen.
> > Hallo ihr Lieben,
> >
> > Wir sollen das Problem naturlich mit dem banachschen
> > Fixpunktsatz lösen.
> > [mm]f(x_{n})=x_{k+1}=cos(x_{k})[/mm]
> > Aber mein Problem ist
> > Selbstabb. [-1,1]-> [-1,1] ist ja eig. klar
>
> Das gilt nur dann, wenn in der Aufgabenstellung auch
> steht,
> dass ihr dazu folgende Funktion betrachtet:
>
> [mm]f:[-1,1]\to\IR:x\to\cos(x).[/mm]
Nun in der Aufgabenstellung steht ja eigentlich gar nichts dazu oder?
cos ist ja auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert und bildet auf [-1,1] ab oder?
> > |f'(x)|=|-sin(x)|=|sin(x)| [mm]\le[/mm] 1 aber es muss ja < 1
> > sein?
>
> Der Ansatz ist richtig.
>
> Tipp: [mm]x\in[-1,1].[/mm]
Hm...
|f'(x)|=|-sin(x)|=|sin(x)| [mm] \le [/mm] |sin(-1)| = |sin(1)| < 1 für alle x [mm] \in [/mm] [-1,1] ?
wobei sin(1) [mm] \approx [/mm] 0,0175 ?!
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Ich habe eine sehr ähnliche Aufgabe und habe es genauso!
LG, Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mo 31.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > > Ermitteln Sie die Menge aller Startwerte [mm]x_{0} \in \IR,[/mm]
> > > für die die Iteration
> > >
> > > [mm]x_{k+1}=cos(x_{k})[/mm]
> > >
> > > konvergiert. Zeigen Sie, dass der Grenzwert die Gleichung
> > > x=cos(x) erfüllt, und bestimmen Sie die Anzahl der reellen
> > > Lösungen dieser Gleichungen.
> > > Hallo ihr Lieben,
> > >
> > > Wir sollen das Problem naturlich mit dem banachschen
> > > Fixpunktsatz lösen.
> > > [mm]f(x_{n})=x_{k+1}=cos(x_{k})[/mm]
> > > Aber mein Problem ist
> > > Selbstabb. [-1,1]-> [-1,1] ist ja eig. klar
> >
> > Das gilt nur dann, wenn in der Aufgabenstellung auch
> > steht,
> > dass ihr dazu folgende Funktion betrachtet:
> >
> > [mm]f:[-1,1]\to\IR:x\to\cos(x).[/mm]
> Nun in der Aufgabenstellung steht ja eigentlich gar nichts
> dazu oder?
Wie kommst du dann bei der Selbstabbildung auf [mm] $[-1,1]\to[-1,1]$ [/mm] ?
> cos ist ja auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert und bildet auf [-1,1] ab
> oder?
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > > |f'(x)|=|-sin(x)|=|sin(x)| [mm]\le[/mm] 1 aber es muss ja < 1
> > > sein?
> >
> > Der Ansatz ist richtig.
> >
> > Tipp: [mm]x\in[-1,1].[/mm]
>
> Hm...
>
> |f'(x)|=|-sin(x)|=|sin(x)| [mm]\le[/mm] |sin(-1)| = |sin(1)| < 1
> für alle x [mm]\in[/mm] [-1,1] ?
Genau.
> wobei sin(1) [mm]\approx[/mm] 0,0175 ?!
Das weiß ich nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 01.04.2014 | | Autor: | lisa2802 |
> Wie kommst du dann bei der Selbstabbildung auf
> [mm][-1,1]\to[-1,1][/mm] ?
Naja weil ich ja aus dem Intervall [a,b] abbilden muss auf [a,b] :
Da cos auf [-1,1] abbildet und [-1,1] [mm] \subset \IR [/mm] muss ja auch [-1,1] auf [-1,1] abbilden und somit habe ich dann die Abbildung [-1,1]->[-1,1]
Oder wie kommt man an die passende Abbildung?
>
> > cos ist ja auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert und bildet auf [-1,1] ab
> > oder?
>
> Genau.
>
> > > > |f'(x)|=|-sin(x)|=|sin(x)| [mm]\le[/mm] 1 aber es muss ja < 1
> > > > sein?
> > >
> > > Der Ansatz ist richtig.
> > >
> > > Tipp: [mm]x\in[-1,1].[/mm]
> >
> > Hm...
> >
> > |f'(x)|=|-sin(x)|=|sin(x)| [mm]\le[/mm] |sin(-1)| = |sin(1)| < 1
> > für alle x [mm]\in[/mm] [-1,1] ?
>
> Genau.
>
> > wobei sin(1) [mm]\approx[/mm] 0,0175 !
>
> Das weiß ich nicht.
Der Taschenrechner anscheinend auch nicht korrekt :D korrekt wäre sin(1) [mm]\approx[/mm] 0,84
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Di 01.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Wie kommst du dann bei der Selbstabbildung auf
> > [mm][-1,1]\to[-1,1][/mm] ?
>
> Naja weil ich ja aus dem Intervall [a,b] abbilden muss auf
> [a,b] :
> Da cos auf [-1,1] abbildet und [-1,1] [mm]\subset \IR[/mm] muss ja
> auch [-1,1] auf [-1,1] abbilden und somit habe ich dann die
> Abbildung [-1,1]->[-1,1]
> Oder wie kommt man an die passende Abbildung?
Das war mein Fehler. Ich habe die Aufgabenstellung nur über-
flogen und habe probiert deinen Ansatz zu korrigieren. Dieser
war leider falsch. Lies dir meine andere Antwort durch.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Di 01.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo DieAcht,
> Fixpunktsatz von Bach
hier sind dir zwei Buchstaben irgendwie den Bach runter gegangen. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Di 01.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich bin wegen deinem Ansatz irritiert worden. Zunächst sollen
wir die anziehende Fixpunktmenge bestimmen. Das ist die Menge,
die nur Elemente enthält, für die die Fixpunktiteration kon-
vergiert.
edit:
> [mm] f(x_{n})=x_{k+1}=cos(x_{k})
[/mm]
Das ist Quatsch.
Bei dir gilt:
[mm] f(x)=\cos(x)-x.
[/mm]
Lies dein Skript und sag mir den Grund.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 01.04.2014 | | Autor: | lisa2802 |
>
> [mm]f(x)=\cos(x)-x.[/mm]
>
> Lies dein Skript und sag mir den Grund.
>
>
> Gruß
> DieAcht
>
Danke du hast recht...
F(x)=x ist eine Fixpunktgleichung
Ich habe in einem Buch was gelesen, denn im Skript steht nichts,
aber warum es so ist keine Ahnung
"Anstelle eines Nullstellenproblems f(x)=0 kann auch ein dazu äquivalentes Fixpunktproblem betrachten : Dazu formt man f(x)=0 in Fixpunktform F(x)=x um, wozu es viele Möglichkeiten gibt."
[mm] x_{n+1}= cos(x_{n})
[/mm]
x=cos(x)
0=cos(x)-x = F(x)
?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Di 01.04.2014 | | Autor: | lisa2802 |
Mein Problem ist wir haben anziehender Fixpunkt nicht im Skript definiert... Also kann ich's ja eigentlich nicht benutzen! Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Di 01.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Mein Problem ist wir haben anziehender Fixpunkt nicht im
> Skript definiert... Also kann ich's ja eigentlich nicht
> benutzen! Oder?
Was habt ihr dazu definiert? Das ist eigentlich die zweite
Definition, die man dazu aufschreibt.
Ein Fixpunkt [mm] \tilde{x} [/mm] heißt anziehend, wenn die Iteration für alle ge-
nügend nahe bei [mm] \tilde{x} [/mm] liegenden Startwerte [mm] x_{0}\not=\tilde{x} [/mm] gegen [mm] \tilde{x} [/mm] konvergiert.
Ein Fixpunkt [mm] \tilde{x} [/mm] heißt abstoßend, wenn ...
Es ist hier nach der Menge dieser Fixpunkte (Startwerte) ge-
fragt.
Deine Funktion
[mm] f:\IR\to\IR:x\to\cos(x)-x
[/mm]
besitzt genau eine Nullstelle. Das kannst du zeigen, aber
darum geht es hier nicht. Wie habt ihr denn die obige De-
finition definiert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Di 01.04.2014 | | Autor: | lisa2802 |
Gar nicht! Das ist ja das Problem. Hab das alles mal in einem Buch gelesen und in einer Übung angewendet und Null Punkte bekommen. Haben nur eine Definiton zum BFS.
direkt vorm BFS ist vollständig metrischer Raum dann BFS und dann schon Norm.
unsere Def BFS:
"Sei X ein vollständiger metrischer Raum und f:X->X eine kontraktive Abb., d.h. es gibt ein q [mm] \in [/mm] [0,1), so dass für alle x,y [mm] \in [/mm] X gilt:
d(f(x),f(y)) [mm] \le [/mm] q d(x,y).
Dann gibt es genau ein [mm] x_{*} \in [/mm] X,so dass
[mm] f(x_{*})=x_{*}
[/mm]
ist, d.h. [mm] x_{*} [/mm] ist Fixpunkt von f."
Dann kommt noch ne folgerung bzgl a-priori/a-posteriori
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 01.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Gar nicht! Das ist ja das Problem. Hab das alles mal in
> einem Buch gelesen und in einer Übung angewendet und Null
> Punkte bekommen.
Ja, da musst du natürlich aufpassen.
> Haben nur eine Definiton zum BFS.
>
> direkt vorm BFS ist vollständig metrischer Raum dann BFS
> und dann schon Norm.
>
> unsere Def BFS:
>
> "Sei X ein vollständiger metrischer Raum und f:X->X eine
> kontraktive Abb., d.h. es gibt ein q [mm]\in[/mm] [0,1), so dass
> für alle x,y [mm]\in[/mm] X gilt:
> d(f(x),f(y)) [mm]\le[/mm] q d(x,y).
> Dann gibt es genau ein [mm]x_{*} \in[/mm] X,so dass
> [mm]f(x_{*})=x_{*}[/mm]
> ist, d.h. [mm]x_{*}[/mm] ist Fixpunkt von f."
Okay, dann mach das mal. Dieses mal aber mit der richtigen
Funktion.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Di 01.04.2014 | | Autor: | lisa2802 |
okay, danke!
Eine Frage hab ich aber noch :D
cos(x)-x ist ja monoton fallend. [mm] f:\IR->\IR [/mm] was muss ich dann bei der Selbstabb. machen? hatten immer nur fälle wie [0,1]->[0,1] oder so ähnlich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Di 01.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> okay, danke!
> Eine Frage hab ich aber noch :D
> cos(x)-x ist ja monoton fallend.
Ja. Beweis?
> [mm]f:\IR->\IR[/mm] was muss ich
> dann bei der Selbstabb. machen? hatten immer nur fälle wie
> [0,1]->[0,1] oder so ähnlich?
Das Intervall sieht gut aus. Kannst du das unter Benutzung
deiner Aussage oben begründen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 01.04.2014 | | Autor: | lisa2802 |
> > okay, danke!
> > Eine Frage hab ich aber noch :D
> > cos(x)-x ist ja monoton fallend.
>
> Ja. Beweis?
ne nicht wirklich. [mm] x_{n+1} \le x_{n}
[/mm]
[mm] cos(x_{n})-x_{n}\le [/mm] 0
[mm] cos(x_{n})-x_{n}\le 1-x_{n}\le [/mm] 0 gilt aber nur für [mm] x_{n}\ge [/mm] 1
aber genauso geht doch
[mm] x_{n+1} \ge x_{n}
[/mm]
[mm] cos(x_{n})-x_{n}\ge [/mm] 0
[mm] cos(x_{n})-x_{n}\ge -1-x_{n}\ge [/mm] 0 gilt aber nur für [mm] x_{n}\le [/mm] -1
och mensch ich bin echt zu dusselig...
aber ich habs geplottet und es war fallend...
> > [mm]f:\IR->\IR[/mm] was muss ich
> > dann bei der Selbstabb. machen? hatten immer nur fälle wie
> > [0,1]->[0,1] oder so ähnlich?
>
> Das Intervall sieht gut aus. Kannst du das unter Benutzung
> deiner Aussage oben begründen?
Das Intervall sollte nur zeigen, was wir für Fälle bisher in den Übungsaufgaben betrachtet haben XD
Aber nach näherer BEtrachtung des Plots ist dies auch das einizige Intervall in dem es die Selbstabb gibt... bzw [-1,1] kann das mit dem obigen Problem zusammenhängen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Di 01.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > > okay, danke!
> > > Eine Frage hab ich aber noch :D
> > > cos(x)-x ist ja monoton fallend.
> >
> > Ja. Beweis?
>
> ne nicht wirklich. [mm]x_{n+1} \le x_{n}[/mm]
> [mm]cos(x_{n})-x_{n}\le[/mm]
> 0
> [mm]cos(x_{n})-x_{n}\le 1-x_{n}\le[/mm] 0 gilt aber nur für
> [mm]x_{n}\ge[/mm] 1
> aber genauso geht doch
> [mm]x_{n+1} \ge x_{n}[/mm]
> [mm]cos(x_{n})-x_{n}\ge[/mm] 0
> [mm]cos(x_{n})-x_{n}\ge -1-x_{n}\ge[/mm] 0 gilt aber nur für
> [mm]x_{n}\le[/mm] -1
> och mensch ich bin echt zu dusselig...
> aber ich habs geplottet und es war fallend...
Was probierst du denn da? Du willst zeigen, dass
[mm] f:\IR\to\IR:x\to\cos(x)-x
[/mm]
monoton fallend ist. Betrachte dafür die Ableitung.
> > > [mm]f:\IR->\IR[/mm] was muss ich
> > > dann bei der Selbstabb. machen? hatten immer nur fälle wie
> > > [0,1]->[0,1] oder so ähnlich?
> >
> > Das Intervall sieht gut aus. Kannst du das unter Benutzung
> > deiner Aussage oben begründen?
> Das Intervall sollte nur zeigen, was wir für Fälle bisher
> in den Übungsaufgaben betrachtet haben XD
> Aber nach näherer BEtrachtung des Plots ist dies auch das
> einizige Intervall in dem es die Selbstabb gibt... bzw
> [-1,1] kann das mit dem obigen Problem zusammenhängen?
Nachdem du gezeigt hast, dass $f$ monoton fallend ist kannst
du mit dem Zwischenwertsatz sehr schnell die Existenz von
mindestens einer Nullstelle zeigen im Intervall $(-1,1)$.
Betrachte dafür $f(-1)$ und $f(1)$ und die Stetigkeit! Dann
kannst du mit dem Satz von Banach arbeiten.
Beim zeigen der Voraussetzung von Banach überlegst du dir
dann ob du das Intervall nicht noch größer wählen könntest.
Dein angegebenes Intervall ist aber ein guter Ansatz um
eine Idee für die Lösung deines Problems zu bekommen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Di 01.04.2014 | | Autor: | lisa2802 |
> Nachdem du gezeigt hast, dass [mm]f[/mm] monoton fallend ist kannst
> du mit dem Zwischenwertsatz sehr schnell die Existenz von
> mindestens einer Nullstelle zeigen im Intervall [mm](-1,1)[/mm].
> Betrachte dafür [mm]f(-1)[/mm] und [mm]f(1)[/mm] und die Stetigkeit! Dann
> kannst du mit dem Satz von Banach arbeiten.
>
> Beim zeigen der Voraussetzung von Banach überlegst du dir
> dann ob du das Intervall nicht noch größer wählen
> könntest.
> Dein angegebenes Intervall ist aber ein guter Ansatz um
> eine Idee für die Lösung deines Problems zu bekommen.
>
Womit kann ich denn begründen, dass ich "Nur" [-1,1] betrachte?
f'(x)=-sin(x)-1 = -(sin(x)+1) [mm] \le [/mm] -(1+1) = -2 [mm] \le [/mm] 0 => mon.fallend
Da f mon. fallend ist [mm] f(a)\le [/mm] f(b)
=> f(a)>0, f(b)<0
=> f(-1) [mm] \approx [/mm] 1,5 >0 und f(1) [mm] \approx [/mm] -0,46 <0
=> mind. eine Nullstelle in [-1,1]
Dann würde ich ja auch die Selbstabb. auf dem Intervall zeigen etc.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Mi 02.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Womit kann ich denn begründen, dass ich "Nur" [-1,1]
> betrachte?
Gar nicht. Deine Idee war dieses Intervall. Wenn du es nun
schaffst über dieses Intervall alles zu zeigen, dann kannst
du dir auch Gedanken machen über ein "größeres" Intervall.
Es könnte doch zum Beispiel sein, dass die Fixpunktiteration
für alle Startwerte gegen den Fixpunkt konvergiert.
> f'(x)=-sin(x)-1 = -(sin(x)+1) [mm]\le[/mm] -(1+1) = -2 [mm]\le[/mm] 0 =>
> mon.fallend
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dein Ansatz ist gut, aber du hast beim Abschätzen nach oben
einen Fehler gemacht. Du wollten mit der Eins nach oben ab-
schätzen, aber hast nicht gemerkt, dass du damit mehr sub-
trahierst, denn davor ist noch ein Minuszeichen. Es gilt:
[mm] $f'(x)=-\sin(x)-1=-(\sin(x)+1)\le -(-1+1)\le [/mm] 0$ für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Beachte, dass wir das schon mal für alle [mm] x\in\IR [/mm] gezeicht haben.
> Da f mon. fallend ist [mm]f(a)\le[/mm] f(b)
> => f(a)>0, f(b)<0
Diese Implikation macht keinen Sinn. Die Eigenschaft, dass
$f$ monoton fallend ist wird erst später benutzt!
> => f(-1) [mm]\approx[/mm] 1,5 >0 und f(1) [mm]\approx[/mm] -0,46 <0
Die Implikation macht hier auch keinen Sinn, aber deine Werte
scheinen zu stimmen.
> => mind. eine Nullstelle in [-1,1]
Wieder der gleiche Fehler mit der Implikation. Die Argument-
ation hier ist folgende: [mm] $f\not=0$ [/mm] ist monoton fallend und stetig.
Weiterhin gilt $f(-1)<0$ und $f(1)>0$, daraus folgt mit dem Zwi-
schenwertsatz, dass mindestens eine Nullstelle in $(-1,1)$ liegt.
Mit der Monotonie folgt dann, dass es genau eine gibt in $(-1,1)$!
Alles klar?
> Dann würde ich ja auch die Selbstabb. auf dem Intervall
> zeigen etc.
Ja.
Wir haben noch nicht mit der Aufgabe richtig angefangen,
aber ich hoffe, dass du nun verstanden hast worum es geht.
Die letzte Frage über die Anzahl der reellen Lösungen der
Gleichung hat sich jedenfalls schon einmal erledigt.
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