Lösung DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
[mm] y(t)=e^{-k*t}*(A*cos(n*t)+B*sin(n*t))
[/mm]
die allgemeine Lösung mit A,B,n,k als Konstanten der folgenden Differentialgleichung ist:
[mm] y''+2*k*y'+(n^2+k^2)*y=0 [/mm] |
Hallo,
also mein Plan ist die gegebene Funktion zwei mal zu differenzieren und dann zusammenzufassen, ich komme auch fast bis ans Ziel nur dann scheint etwas nicht zusammenzupassen, also hier meine Ableitungen:
[mm] y'(t)=e^{-kt}*(-A*n*sin(n*t)+B*n*cos(n*t))-k*e^{-k*t}*(A*cos(n*t)+B*sin(n*t))
[/mm]
[mm] y''(t)=e^{-kt}*(-A*n^2*cos(n*t)-B*n^2*sin(n*t))-k*e^{-k*t}*(-A*n*sin(n*t)+B*n*cos(n*t))-k*e^{-k*t}(-A*n*sin(n*t)+B*n*cos(n*t))-k^2*e^{-k*t}(A*cos(n*t)+B*sin(n*t))
[/mm]
So y'' kann jetzt wie folgt vereinfacht werden:
[mm] y''(t)=(-n^2-k^2)*y-k*e^{-k*t}*(-A*n*sin(n*t)+B*n*cos(n*t))-k*e^{-k*t}(-A*n*sin(n*t)+B*n*cos(n*t))
[/mm]
Also der erste Teilt sieht gut aus, da ich das am Ende nur mit $ (-1) $ multiplizieren muss um [mm] (n^2+k^2) [/mm] zu bekommen. Beim zweiten Teil fehlt mir Allerdings ein $ A*cos(n*t) $ Term der in der ersten Ableitung vorkommt... der Rest würde ja wieder passen.
Wäre super, wenn man jemand drüber schauen könnte.
Vielen Dank und gute Nacht,
exe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 So 24.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
in Deinem Lösungsansatz versuchst Du zu zeigen, das die angegebene Funktion eine Lösung ist. Du muss aber zeigen, das es keine anderen Lösungen gibt.
Ich würde folgendes vorschlagen:
1. Bestimme die Eigenwerte
2. Unterscheide ob zwei relle, eine relle oder zwei komplexe Lösungen vorliegen
3. Bei komplexen Eigenwerte trenne in Real- und Imaginärteil (in Deinem Fall zwei komplexe Lösungen)
4. Linearkombination der beiden Lösungen ist die allgemeine Lösung
Dann kommt Dein Schritt, überprüfen ob die gefundene Funktion auch wirklich eine Lösung ist.
>
> [mm]y'(t)=e^{-kt}*(-A*n*sin(n*t)+B*n*cos(n*t))-k*e^{-k*t}*(A*cos(n*t)+B*sin(n*t))[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] y''(t)=e^{-kt}*-A*n^2*cos(n*t)-B*n^2*sin(n*t))-k*e^{-k*t}*-A*n*sin(n*t)+B*n*cos(n*t))-k*e^{-k*t}-A*n*sin(n*t)+B*n*cos(n*t))-k^2*e^{-k*t}(A*cos(n*t)+B*sin(n*t))
[/mm]
>
Beim letzten Summand muss es [mm] +k^2*e^{-k*t}(A*cos(n*t)+B*sin(n*t)) [/mm] heißen.
mfg ullim
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Hallo,
danke für deine Antwort. Leider kann ich mit den von dir beschriebenen Schritten nicht wirklich etwas anfangen. So etwas würde in der Vorlesung nicht besprochen. Eigenwerte kenne ich im Bezug auf Matrizen, den Zusammenhang konnte ich hier leider nicht sehen.
Kannst / Könnt ihr vielleicht noch ein wenig licht in mein dunkel bringen ? Wir haben bisher solche Differentialgleichungen noch nicht gelöst. daher denke ich, dass es mit meinem Ansatz getan war. Mich würde allerdings trotzdem interessieren, wie man die andere Implikationsrichtung zeigt.
vielen dank,
exe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 24.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
vielleicht hilft das ein wenig. Mit de Transformationen
[mm] x_1=y [/mm] und
[mm] x_2=y' [/mm] folgt
[mm] \bruch{d}{dt}\vektor{x_1 \\ x_2}=\pmat{ 0 & 1 \\ -(n^2+k^2) & -2*k }\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
Von der Matrix [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ -(n^2+k^2) & -2*k } [/mm] kannst Du jetzt die Eigenwerte bestimmen und dann verfahren wie beschrieben.
mfg ullim
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Hi,
also gelöst habe ich die Gleichung nun, ist auch die Lösung des Aufgabenblattes, aber ich kann immernoch nicht verifizieren, dass es tatsächlich eine Lösung ist. Also mein o.g. ansatz funzt nicht. wo liegt denn nun mein Fehler ? Die Ableitung scheinen ja bis auf das Vorzeichen richtig bestimmt zu sein.
Kann sich bitte nochmal jemand zeit nehmen und darüber schauen ? Was übersehe ich denn ?
lg
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
>
> also gelöst habe ich die Gleichung nun, ist auch die
> Lösung des Aufgabenblattes, aber ich kann immernoch nicht
> verifizieren, dass es tatsächlich eine Lösung ist. Also
> mein o.g. ansatz funzt nicht. wo liegt denn nun mein Fehler
> ? Die Ableitung scheinen ja bis auf das Vorzeichen richtig
> bestimmt zu sein.
>
> Kann sich bitte nochmal jemand zeit nehmen und darüber
> schauen ? Was übersehe ich denn ?
ullim hat geschrieben, daß sich im letzten Summanden von y''
in Deinem ersten Post ein Vorzeichenfehler eingeschlichen hat.
Hier bei handelt es sich um die zweite Ableitung von [mm]e^{-k*t}[/mm]
[mm]\left( \ e^{-k*t} } \ \right)'=\left(-k\right)*e^{-k*t}[/mm]
[mm]\left(-k\right)*\left( \ e^{-k*t} \ \right)'=\left(-k\right)*\left(-k\right)*e^{-k*t}=+k^{2}*e^{-k*t}}[/mm]
Um auf die Lösung der DGL zu kommen, machst Du den Ansatz [mm]y=e^{\lambda*t}[/mm]
Wenn hier komplexe Lösungen auftreten, dann löst sowohl der Real-
als auch der Imaginärteil der komplexen Lösung die DGL.
>
> lg
Gruss
MathePower
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