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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 16.07.2006 | | Autor: | Tyvan |
| Aufgabe | y' = [mm] y^{2}
[/mm]
y(0) = 1 |
Obige Aufgabenstellung hat die Lösung y = [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
Nur ich komme nicht auf diese Lösung.
Mein Versuch:
[mm] \bruch{y'}{y} [/mm] = y -> jetzt integrieren
Also:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{y'}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x dx}
[/mm]
y von rechts habe ich durch x ersetzt.
jetzt:
ln y = [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] um es auf y = ... zu bringen, mach ich die e-Funktion auf beiden Seiten. Also:
y = [mm] e^{\bruch{x^{2}}{2}}
[/mm]
Stimmt doch aber nicht mit der Lösung überein. Was mach ich hier falsch?
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Du kannst nicht einfach y duch x ersetzen!
y ist doch irgendeine Funktion.
Versuch es so:
[mm] $\bruch{y'}{y^2} [/mm] = 1$
und integriere das.
Tipp: Innere Ableitung mal äußere Ableitung
Du hast eine Funktion, in die y eingesetzt wird. Die innere Ableitung ist dann y', und die äußere Ableitung ist [mm] \bruch{1}{(...)^2}.
[/mm]
Demnach ist die Stammfunktion wohl sowas wie [mm] \alpha\bruch{1}{y}, [/mm] auf der rechten Seite steht dann als Stammfunktion x. Das [mm] \alpha [/mm] mußt du so bestimmen, daß beim Ableiten wieder [mm] \bruch{y'}{y^2} [/mm] da steht.
Nun, bei der Integration entsteht eine additive Konstante (eigentlich auf beiden Seiten, aber die kann man zusamenfassen.)
Löse die Geichung dann nach y auf, das ist die allgemeine Lösung.
Wenn du y=1 und x=0 einsetzt, kannst du die Konstante bestimmen und hast die Lösung für deinen Anfangswert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mo 17.07.2006 | | Autor: | Tyvan |
Danke für die Antwort.
Noch ne kurze Frage:
Du scheinst zu erkennen welche Form die Stammfunktion am Ende haben muss. Hab es mittlerweile gelöst und komme auf die gleiche Lösung.
Doch wie erkennst du da "ungefähr" die Stammfunktion. Also z.B. das [mm] \alpha\bruch{1}{y}
[/mm]
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Hallo Tyvan!
> Doch wie erkennst du da "ungefähr" die Stammfunktion.
> Also z.B. das [mm]\alpha\bruch{1}{y}[/mm]
Das ist einfach etwas Übung bei derartigen Aufgaben. Wobei man auch hier schnell dieses Ergebnis erkennen kann, da hier lediglich nach der  Potenzregel integrieren kann.
Gruß vom
Roadrunner
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