Lösen von Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 06.06.2009 | | Autor: | dadario |
| Aufgabe | | u``+u`=1 U(0)=u0 , u`(0)=u1 |
Hallo,
würde bei der obigen aufgabe nur kurz wissen ob ich sie richtig lösen würde. bin mir grad irgendwie etwas unsicher, da ich keine richtigen werte gegeben habe.
also es handelt sich ja um eine homogene DGL die umgestellt
u´´(x)+u'(x) -1 = 0 aussehen würde oder ?
mir kommt das grad so komisch vor weil ich als nullsten
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{(-1 \pm \wurzel{5})}{2}
[/mm]
bekomme.
ist das richtig?? oder muss ich sie vielleicht doch homogen und inhomogen lösen??
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Hallo dadario,
> u''+u'=1 U(0)=u0 , u'(0)=u1
> Hallo,
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> würde bei der obigen aufgabe nur kurz wissen ob ich sie
> richtig lösen würde. bin mir grad irgendwie etwas unsicher,
> da ich keine richtigen werte gegeben habe.
>
> also es handelt sich ja um eine homogene DGL die umgestellt
> u´´(x)+u'(x) -1 = 0 aussehen würde oder ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die homogene Dgl. ist $u''+u'=0$
Die NSTen kannst du ablesen und hast [mm] $u_{hom}(x)=c_1\cdot{}e^{(...)}+c_2\cdot{} [/mm] ...$
Dann weiter ...
>
> mir kommt das grad so komisch vor weil ich als nullsten der charakteristischen Gleichung
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{(-1 \pm \wurzel{5})}{2}[/mm]
>
> bekomme.
>
> ist das richtig?? oder muss ich sie vielleicht doch homogen
> und inhomogen lösen??
Ja, aber deine homogene Gleichung passte nicht
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 06.06.2009 | | Autor: | dadario |
also löse ich es doch homogen und dann inhomogen..
als nullstellen erhalte ich 0 und -1 also bekomme ich als homogene lösung u(x)hom= c1 * e^(0x) + c2*e^(-x)
danach muss ich das ganze ja noch inhomogen lösen und damit die anfangsbeding bestimmen ?
was nehme ich denn da für einen anstaz?
einfach nur up(x)= A ? wenn ich den dann ableite und einsetze bekomme ich ja 0=1 ?
wie setze ich dann die anfangsbedingungen ein??
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Hallo nochmal,
> also löse ich es doch homogen und dann inhomogen..
>
> als nullstellen erhalte ich 0 und -1 also bekomme ich als
> homogene lösung u(x)hom= c1 * e^(0x) + c2*e^(-x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $=c_1+c_2\cdot{}e^{-x}$
[/mm]
>
>
> danach muss ich das ganze ja noch inhomogen lösen und damit
> die anfangsbeding bestimmen ?
>
> was nehme ich denn da für einen anstaz?
>
> einfach nur up(x)= A ? wenn ich den dann ableite und
> einsetze bekomme ich ja 0=1 ?
Für die partikuläre Lösung nimm den Ansatz: [mm] $u_p(x)=\lambda\cdot{}x$ [/mm] mit [mm] $\lambda\in\IR$
[/mm]
Damit in die Dgl. rein und Koeffizientenvgl. ...
>
> wie setze ich dann die anfangsbedingungen ein??
Das machst du, wenn du die vollst. Lösung der Dgl. hast: einfach einsetzen ...
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 06.06.2009 | | Autor: | dadario |
ohje... das verstehe ich aber nicht.
also ich nehme [mm] yp(x)=\lambda [/mm] *k aber was ist mein k? und wie setze ich das ein steh grad echt aufm schlauch..
hab das sonst immer gemacht das wenn ich inhomogenen teil hatte z.B x das ich dann Ax+B genommen hab, das je nach höhe der dgl abgeleitet, dann in die dgl eingesetzt dann koeffizienten vergleich.. aber wenn ich des [mm] \lambda [/mm] *k nach x ableite sind doch die ableitungen beide null oder?
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Hallo nochmal,
> ohje... das verstehe ich aber nicht.
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> also ich nehme [mm]yp(x)=\lambda[/mm] *k aber was ist mein k?
Mein Fehler, habe micht vertippt und nicht nachkontrolliert, es muss natürlich [mm] $\lambda\cdot{}\red{x}$ [/mm] lauten
> und
> wie setze ich das ein steh grad echt aufm schlauch..
>
> hab das sonst immer gemacht das wenn ich inhomogenen teil
> hatte z.B x das ich dann Ax+B genommen hab, das je nach
> höhe der dgl abgeleitet, dann in die dgl eingesetzt dann
> koeffizienten vergleich.. aber wenn ich des [mm]\lambda[/mm] *k
> nach x ableite sind doch die ableitungen beide null oder?
Oh je, mea culpa ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Ich bessere das schnell oben aus!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Sa 06.06.2009 | | Autor: | dadario |
ach so.. nehme ich das x dazu weil -1 meine nullstelle ist?
wenn ich das dann ableite bekomme ich
[mm] y_p(x)= \lambda [/mm] x
[mm] y_p(x)`= \lambda
[/mm]
und [mm] y_p(x)´´=0
[/mm]
das in die dgl eingesetzt liefert mir dann A=1 also ist mein [mm] y_p(x)=x
[/mm]
also ist meine allgemeine Lösung ja dann [mm] y_a(x) [/mm] = [mm] c_1 +c_2 [/mm] +e^(-1) +x
leite ih das ganze dann ab und setze die anfangsbedingungen ein oder wo setze ich die genau ein??
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Hallo dadario,
> ach so.. nehme ich das x dazu weil -1 meine nullstelle
> ist?
Der Ansatz ergibt sich hier aus der unmittelbar aus der Störfunktion( hier: 1).
Da, die Konstante auch eine Lösung der homogenen DGL ist, folgt der Ansatz:
[mm]y_{p}\left(x\right)=\lambda*x[/mm]
>
> wenn ich das dann ableite bekomme ich
>
> [mm]y_p(x)= \lambda[/mm] x
> [mm]y_p(x)'= \lambda[/mm]
> und [mm]y_p(x)´´=0[/mm]
>
> das in die dgl eingesetzt liefert mir dann A=1 also ist
> mein [mm]y_p(x)=x[/mm]
>
> also ist meine allgemeine Lösung ja dann [mm]y_a(x)[/mm] = [mm]c_1 +c_2[/mm]
> +e^(-1) +x
[mm]y\left(x\right)=c_{1}+c_{2}*e^{-x}+x[/mm]
>
> leite ih das ganze dann ab und setze die anfangsbedingungen
> ein oder wo setze ich die genau ein??
Zur Ermittlung der Konstanten hast Du dann jetzt folgendes Gleichungssystem:
[mm]u\left(0\right)=u_{0}=y\left(0\right)[/mm]
[mm]u'\left(0\right)=u_{1}=y'\left(0\right)[/mm]
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 06.06.2009 | | Autor: | dadario |
gut
also leite ich mein y(x) zweimal ab und setze es jeweils gleich y(0) und bestimme damit meine constanten
danke
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Hallo nochmal,
y oder u? Du solltest konsequent bei einer Bezeichnung bleiben.
Wir hatten rausgefunden, dass deine Ausgangsdgl von der Funktion
[mm] $u(x)=c_1+c_2\cdot{}e^{-x}+x [/mm] \ \ \ [mm] (\star)$ [/mm] gelöst wird.
Um die Unbekannten [mm] $c_1, c_2$ [/mm] zu berechnen, hast du 2 Anfangsbedingungen gegeben:
1) [mm] $u(0)=u_0$ [/mm] und 2) [mm] $u'(0)=u_1$
[/mm]
Das setzen wir in [mm] $(\star)$ [/mm] ein:
1) [mm] $u(0)=c_1+c_2\cdot{}e^{-0}+0=c_1+c_2\overset{!}{=}u_0$
[/mm]
2) Es ist [mm] $u'(x)=-c_2\cdot{}e^{-x}+1$, [/mm] also [mm] $u'(0)=-c_2\cdot{}e^{-0}+1=-c_2+1\overset{!}{=}u_1$
[/mm]
Du hast also die beiden Bestimmungsgleichungen
(A) [mm] $c_1+c_2=u_0$ [/mm]
(B) [mm] $-c_2+1=u_1$
[/mm]
Daraus berechne nun [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] und du hast es ...
LG
schachuzipus
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