Lösen von DGL´s < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 So 23.01.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL:
[mm] y'+\frac{7}{x}*y [/mm] = [mm] 12*x^4 [/mm] mit y(1)=3 |
Könnte mal bitte jemand mein Ergebniss Überprüfen:
[mm] (x^{12}+2)*e^{-7*ln(x)}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 So 23.01.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Lösen Sie folgende DGL:
> [mm]y'+\frac{7}{x}*y[/mm] = [mm]12*x^4[/mm] mit y(1)=3
> Könnte mal bitte jemand mein Ergebniss Überprüfen:
>
> [mm](x^{12}+2)*e^{-7*ln(x)}[/mm]
Du kannst die Lösung ganz leicht selbst überprüfen. Setzt Deine Lösung in die DGL ein, wenn die Gleichung erfüllt ist stimmt die Lösung.
Aber so auf den ersten Blick sieht es so aus, als wär die Lösung falsch. Zeig doch mal, wie Du drauf gekommen bist.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 23.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ok mein Rechen weg:
[mm]\frac{dy}{dx} = - \frac{7}{x}*y[/mm] *dx
[mm]dy = -\frac{7}{x} dx[/mm] | :y
[mm]\frac{dy}{y} = -\frac{7}{x} dx[/mm] [mm] |\Integral
[/mm]
[mm]ln(y) = -7*ln(x)+C[/mm] |e
[mm]y = e^{-7*ln(x)+C} = e^{-7ln(x)}*e^C = e^{-7ln(x)} * k[/mm]
So kleine Nebenrechnung:
[mm] e^{-7ln(x)} [/mm] = [mm] e^{-7 * ln(x)} [/mm] = [mm] e^{ln(x^{-7})} [/mm] = [mm] x^{-7}
[/mm]
Weiter im Kontext:
y = k(x) * [mm] x^{-7}
[/mm]
y' = k' [mm] *x^{-7}+k*x^{-7}*-7x^{-8}
[/mm]
[mm] -7x^{-8}y [/mm] = [mm] -k*x^{-7}*-7x^{-8}
[/mm]
--------------------------------------
addieren
[mm] -7*x^{-8}*y+y' [/mm] = k' * [mm] x^{-7}
[/mm]
[mm]k'*x^{-7} = 12x^4 [/mm] | * [mm] x^7
[/mm]
[mm]k' = 12x^4*x^7 = 12x^{11}[/mm]
k = [mm] x^{12} [/mm] + [mm] C_2
[/mm]
Ok k(x) einsetzen in k(x) * [mm] x^{-7}
[/mm]
[mm] (x^{12}+C_2) [/mm] * [mm] x^{-7}
[/mm]
Ok nun [mm] C_2 [/mm] ausrechnen aus y=3 und x =1
3 = [mm] (1^{12}+C_2)*1^{-7}
[/mm]
3 = 1 + [mm] C_2
[/mm]
[mm] C_2 [/mm] = 2
Ergebniss: [mm] (x^{12}+2) [/mm] * [mm] x^{-7}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 23.01.2011 | | Autor: | notinX |
Oh, ich muss mich bei Dir entschuldigen. Ich hab mich verrechnet.
Deine Rechnung und Deine Lösung stimmen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 So 23.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Musst dich nicht entschuldigen, ich hab von dem ganzen Zeug doch hier null Peil, bin froh wenn mir Leute wie du bestätigen können ob ichs richtig gemacht habe.
Danke dir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 23.01.2011 | | Autor: | notinX |
> Musst dich nicht entschuldigen, ich hab von dem ganzen Zeug
> doch hier null Peil, bin froh wenn mir Leute wie du
> bestätigen können ob ichs richtig gemacht habe.
Wie gesagt, es stimmt. Kannst es ja probehalber nochmal durch Einsetzen der Lösung verifizieren.
>
> Danke dir
Gern geschehen.
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