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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösen einer DGL 2.Ordnung
Lösen einer DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösen einer DGL 2.Ordnung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Fr 31.03.2006
Autor: Hero2000

Aufgabe
Berechnen Sie die spezielle Lösung der Differentialgleichung

[mm] y''+By'=Ax+\bruch{A}{B}+2B^3*e^{B*x} [/mm]

für die Anfangsbedingung y(0)=2B und [mm] y'(0)=B^2 [/mm]

Also ich bin die sache folgen der masse angegangen.

y''+By'=0

[mm] \lambda^2+B* \lambda=0 \Rightarrow \lambda_1=-B [/mm] und  [mm] \lambda_2=0 [/mm]

da  [mm] \lambda_1 \not= \lambda_2 [/mm] ergibt sich eine homogene Lösung von

[mm] y_h=C_1*e^{\lambda_1*x}+C_2*e^{\lambda_2*x} \Rightarrow y_h=C_1*e^{B*x}+C_2 [/mm]


um den Partikulärenteil [mm] y_p [/mm] zu brechnen habe ich mir gedacht das die störfunktion [mm] s(x)=Ax+\bruch{A}{B}+2B^3*e^{B*x} [/mm] in 2 Teile unterteilt

[mm] s_1(x)=Ax+\bruch{A}{B} [/mm] und [mm] s_2(x)=2B^3*e^{B*x} [/mm]

für

[mm] s_1(x) [/mm] würde sich ja dann folgende Funktion für [mm] y_p [/mm] ergeben

[mm] s_1(x)=A_1*x^1+A_0*x^0 [/mm]

[mm] \lambda_1=0; \lambda_2 \not=0 [/mm]

[mm] y_p=x(A_1*x^1+A_0*x^0) \Rightarrow y_p=x(Ax+\bruch{A}{B}) \Rightarrow y_p_1=Ax^2+\bruch{Ax}{B} [/mm]




[mm] s_2(x)=2B^3*e^{B*x} [/mm]  hier würde sich eine störfunktion von

[mm] s_2(x)=A*e^{ \alpha * x} [/mm] ergeben


[mm] \alpha=B [/mm]

und [mm] A=2*B^3 [/mm]

laut lösungstabelle gibt es jetzt 2 wege

[mm] \alpha \not= \lambda_1,\lambda_2 \Rightarrow y_p=A_1*e^{\alpha * x} [/mm]

oder

[mm] \alpha [/mm] = [mm] \lambda_1,\not=\lambda_2 \Rightarrow y_p=A_1*e^{\alpha * x} [/mm]


da   [mm] \lambda_1=-B [/mm] ist denke ich müsste die erste lösung stimmen aber hier bin ich mir nicht sicher

also mit  [mm] y_p=A_1*e^{\alpha * x} [/mm]

ergibt sich dann [mm] y_p_2=2*B^3*e^{B*x} [/mm]


damit müsste [mm] y_p=y_p_1+y_p_2 \Rightarrow y_p_1=Ax^2+\bruch{Ax}{B} [/mm] und [mm] y_p_2=2*B^3*e^{B*x} [/mm]

[mm] y_P= Ax^2+\bruch{Ax}{B}+2*B^3*e^{B*x} [/mm]


damit müsste [mm] y_i_n_h=y_h+y_p [/mm]

[mm] y_i_n_h=C_1*e^{B*x}+C_2+Ax^2+\bruch{Ax}{B}+2*B^3*e^{B*x} [/mm]

aber die Lösung stimmt irgendwie nicht,denke ich.
da hat sich bestimmt  bei [mm] y_p_2 [/mm] irgendwie nen Fehler eingeschlichen.
Vielleicht sieht irgendwer von euch den Fehler



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Lösen einer DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:56 Sa 01.04.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo Hero2000,
[willkommenmr]

> [mm]y''+By'=Ax+\bruch{A}{B}+2B^3*e^{B*x}[/mm]
>  
> für die Anfangsbedingung y(0)=2B und [mm]y'(0)=B^2[/mm]
>  Also ich bin die sache folgen der masse angegangen.
>  
> y''+By'=0
>  
> [mm]\lambda^2+B* \lambda=0 \Rightarrow \lambda_1=-B[/mm] und  
> [mm]\lambda_2=0[/mm]

[daumenhoch]  
> da  [mm]\lambda_1 \not= \lambda_2[/mm] ergibt sich eine homogene
> Lösung von
>
> [mm]y_h=C_1*e^{\lambda_1*x}+C_2*e^{\lambda_2*x} \Rightarrow y_h=C_1*e^{B*x}+C_2[/mm]

Wenn Du [mm] \lambda_1=-B [/mm] hast sollte auch [mm] e^{-Bx} [/mm] in der Lösung erscheinen.

> um den Partikulärenteil [mm]y_p[/mm] zu brechnen habe ich mir
> gedacht das die störfunktion
> [mm]s(x)=Ax+\bruch{A}{B}+2B^3*e^{B*x}[/mm] in 2 Teile unterteilt
>  
> [mm]s_1(x)=Ax+\bruch{A}{B}[/mm] und [mm]s_2(x)=2B^3*e^{B*x}[/mm]

[daumenhoch]
> für
>
> [mm]s_1(x)[/mm] würde sich ja dann folgende Funktion für [mm]y_p[/mm] ergeben
>
> [mm]s_1(x)=A_1*x^1+A_0*x^0[/mm]
>  
> [mm]\lambda_1=0; \lambda_2 \not=0[/mm]
>
> [mm]y_p=x(A_1*x^1+A_0*x^0) \Rightarrow y_p=x(Ax+\bruch{A}{B}) \Rightarrow y_p_1=Ax^2+\bruch{Ax}{B}[/mm]

Der Ansatz ist richtig aber Dein Ergebnis stimmt nicht. Wie bist Du drauf gekommen? (Ansatz in die DGL einsetzen,Koeffizientenvergleich?)
> [mm]s_2(x)=2B^3*e^{B*x}[/mm]  hier würde sich eine störfunktion von
>  
> [mm]s_2(x)=A*e^{ \alpha * x}[/mm] ergeben
>  
>
> [mm]\alpha=B[/mm]
>  
> und [mm]A=2*B^3[/mm]
>  
> laut lösungstabelle gibt es jetzt 2 wege
>  
> [mm]\alpha \not= \lambda_1,\lambda_2 \Rightarrow y_p=A_1*e^{\alpha * x}[/mm]
>  
> oder
>  
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\lambda_1,\not=\lambda_2 \Rightarrow y_p=A_1*e^{\alpha * x}[/mm]
>  
>
> da   [mm]\lambda_1=-B[/mm] ist denke ich müsste die erste lösung
> stimmen aber hier bin ich mir nicht sicher

[daumenhoch]  
> also mit  [mm]y_p=A_1*e^{\alpha * x}[/mm]
>  
> ergibt sich dann [mm]y_p_2=2*B^3*e^{B*x}[/mm]

Wie beim ersten [mm] y_p [/mm] stimmt der Ansatz aber nicht die Lsg.


> damit müsste [mm]y_p=y_p_1+y_p_2 \Rightarrow y_p_1=Ax^2+\bruch{Ax}{B}[/mm]
> und [mm]y_p_2=2*B^3*e^{B*x}[/mm]

Dein Lösungsweg ist richtig es scheinen sich bei den partiellen Ansätzen noch ein paar Rechenfehler zu verstecken.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
Bezug
                
Bezug
Lösen einer DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Sa 01.04.2006
Autor: Hero2000

[mm] y_h=C_1\cdot{}e^{\lambda_1\cdot{}x}+C_2\cdot{}e^{\lambda_2\cdot{}x} \Rightarrow y_h=C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}x}+C_2 [/mm]

hmm hab da nur das Minus vergessen. :-(



>um den Partikulärenteil $ [mm] y_p [/mm] $ zu brechnen habe ich mir
> gedacht das die störfunktion
> $ [mm] s(x)=Ax+\bruch{A}{B}+2B^3\cdot{}e^{B\cdot{}x} [/mm] $ in 2 Teile unterteilt
>  
> $ [mm] s_1(x)=Ax+\bruch{A}{B} [/mm] $ und $ [mm] s_2(x)=2B^3\cdot{}e^{B\cdot{}x} [/mm] $

[daumenhoch]
> für

>
> $ [mm] s_1(x) [/mm] $ würde sich ja dann folgende Funktion für $ [mm] y_p [/mm] $ ergeben

>
> $ [mm] s_1(x)=A_1\cdot{}x^1+A_0\cdot{}x^0 [/mm] $
>  
> $ [mm] \lambda_1=0; \lambda_2 \not=0 [/mm] $

>
> $ [mm] y_p=x(A_1\cdot{}x^1+A_0\cdot{}x^0) \Rightarrow y_p=x(Ax+\bruch{A}{B}) \Rightarrow y_p_1=Ax^2+\bruch{Ax}{B} [/mm] $


Ich habe nochmal in meinem Preuß Wenisch nach geguckt und laut denen müsste es so sein:

$ [mm] s_1(x)=Ax+\bruch{A}{B} [/mm] $

$ [mm] s_1(x)=b_1\cdot{}x+b_0 [/mm] $ hier soll laut buch der ansatz [mm] (B_m*x^m+...B_1*x+B_0)*x [/mm] zum einsatz kommen

Speziell für meinen Fall müsste es dann [mm] y_p=(B_1*x+B_0)*x [/mm] sein

[mm] y_p=B_1*x^2+B_0*x [/mm]
[mm] y_p'=2*B_1*x+B_0 [/mm]
[mm] y_p''=2*B_1 [/mm]

ein setzten in die ursprungsgleichung

[mm] (2*B_1)+(2*B_1*x+B_0)*B=Ax+\bruch{A}{B} [/mm]

[mm] 2B*B_1*x+B*B_0+2B_1=A*x+\bruch{A}{B} [/mm]



[mm] 2B*B_1*x=A*x \Rightarrow A=2B*B_1 \Rightarrow B_1=\bruch{A}{2B} [/mm]

[mm] B*B_0+2B_1=\bruch{A}{B} \Rightarrow B*B_0+2*(\bruch{A}{2B})=\bruch{A}{B} \Rightarrow B_0=0 [/mm]

[mm] y_p=(\bruch{A}{2B}x+0)*x \Rightarrow y_p_1=\bruch{A}{2B}x^2 [/mm]



> $ [mm] s_2(x)=2B^3\cdot{}e^{B\cdot{}x} [/mm] $  hier würde sich eine störfunktion von
>  
> $ [mm] s_2(x)=A\cdot{}e^{ \alpha \cdot{} x} [/mm] $ ergeben
>  

>
> $ [mm] \alpha=B [/mm] $
>  
> und $ [mm] A=2\cdot{}B^3 [/mm] $
>  
> laut lösungstabelle gibt es jetzt 2 wege
>  
> $ [mm] \alpha \not= \lambda_1,\lambda_2 \Rightarrow y_p=A_1\cdot{}e^{\alpha \cdot{} x} [/mm] $
>  
> oder
>  
> $ [mm] \alpha [/mm] $ = $ [mm] \lambda_1,\not=\lambda_2 \Rightarrow y_p=A_1\cdot{}e^{\alpha \cdot{} x} [/mm] $
>  

>
> da   $ [mm] \lambda_1=-B [/mm] $ ist denke ich müsste die erste lösung
> stimmen aber hier bin ich mir nicht sicher

[daumenhoch]  
> also mit  $ [mm] y_p=A_1\cdot{}e^{\alpha \cdot{} x} [/mm] $
>  


so neuer ansatz :-)

$ [mm] s_2(x)=2B^3\cdot{}e^{B\cdot{}x} [/mm] $  hier würde sich eine störfunktion von
  
$ [mm] s_2(x)=b\cdot{}e^{ \alpha \cdot{} x} [/mm] $ ergeben

der Ansatz laut Buch

[mm] y_p_2=B_0*e^{\alpha \cdot{} x} [/mm]
[mm] y'_p_2=\alpha*B_0*e^{\alpha \cdot{} x} \Rightarrow B*B_0*e^{B*x} [/mm]
[mm] y''_p_2=\alpha^2*B_0*e^{\alpha \cdot{} x} \Rightarrow B^2*B_0*e^{B*x} [/mm]

damit ergibt sich

[mm] (B^2*B_0*e^{B \cdot{} x})+B*(B*B_0*e^{B \cdot{} x})=2B^3*e^{B*x} [/mm]

[mm] (B^2*B_0*e^{B \cdot{} x})+B^2*B_0*e^{B*x} \Rightarrow 2B^2*B_0*e^{B*x}=2B^3*e^{B*x} [/mm]

damit ist [mm] B_0=B [/mm]

[mm] y_p_2=B*e^{B*x} [/mm]



[mm] y_p_1=\bruch{A}{2B}x^2 [/mm]
[mm] y_p_2=B*e^{B*x} [/mm]

[mm] y_p=y_p_1+y_p_2 [/mm]

[mm] y_p=\bruch{A}{2B}x^2+B*e^{B*x} [/mm]

[mm] y_h=C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}x}+C_2 [/mm]

[mm] y_i_n_h=y_h+y_p [/mm]

[mm] y_i_n_h=\bruch{A}{2B}x^2+B*e^{B*x}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}x}+C_2 [/mm]

ich hoffe diesmal stimmt es :-)


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Lösen einer DGL 2.Ordnung: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Sa 01.04.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo Hero2000,
Ich habe keine Fehler gefunden :-)
viele Grüße
mathemaduenn
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Lösen einer DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 So 02.04.2006
Autor: Hero2000

Danke nochmal fürs drüber kucken :-)

sorry wenn ich jetzt nochmal ne ganz doofe Frage stelle was hat es jetzt mit den Anfangswert bedingungen auf sich

y(0)=2B $ und $ [mm] y'(0)=B^2 [/mm]


muss ich jetzt $

[mm] y_i_n_h=\bruch{A}{2B}x^2+B\cdot{}e^{B\cdot{}x}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}x}+C_2 [/mm]

x=0

damit dann

[mm] 2B=\bruch{A}{2B}0^2+B\cdot{}e^{B\cdot{}0}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}0}+C_2 [/mm]

[mm] 2B=B*e^0+C1*e^0+C2 \Rightarrow [/mm]    2B=B+C1+C2

und


[mm] f'(x)=\bruch{A}{2B}x^2+B\cdot{}e^{B\cdot{}x}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}x}+C_2 [/mm] *dx

[mm] f'(x)=\bruch{A}{2B}x+B^2*e^{B*x}-B*C_1*e^{-B*x} [/mm]

f'(x)=0

[mm] B^2=\bruch{A}{2B}0+B^2*e^{B*0}-B*C_1*e^{-B*0} [/mm]

[mm] B^2=B^2-B*C1 [/mm]


damit ergibt sich dann


2B=B+C1+C2
[mm] B^2=B^2-B*C1 [/mm]

C1=0
C2=B
würde dann raus kommen.

hmm ich hasse das rechnen mit Buchstaben für mich müss bei sowas am besten werte raus kommen.
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Lösen einer DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 So 02.04.2006
Autor: Herby

Hallo Hero2000,

da ist zwar ein kleiner Rechenfehler drin, der sich jedoch nicht auf dein Ergebnis auswirkt - Glück gehabt ;-)

Ich hab ihn dir rot markiert

> y(0)=2B [mm]und[/mm] [mm]y'(0)=B^2[/mm]
>
>
> muss ich jetzt $
>
> [mm]y_i_n_h=\bruch{A}{2B}x^2+B\cdot{}e^{B\cdot{}x}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}x}+C_2[/mm]
>
> x=0
>  
> damit dann
>
> [mm]2B=\bruch{A}{2B}0^2+B\cdot{}e^{B\cdot{}0}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}0}+C_2[/mm]
>
> [mm]2B=B*e^0+C1*e^0+C2 \Rightarrow[/mm]    2B=B+C1+C2
>  
> und


[daumenhoch] (das B halt gleich noch subtrahieren)


> [mm]f'(x)=\bruch{A}{2B}x^2+B\cdot{}e^{B\cdot{}x}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}x}+C_2[/mm]
> *dx
>
> [mm]f'(x)=\red{2*}\bruch{A}{2B}x+B^2*e^{B*x}-B*C_1*e^{-B*x}[/mm]

da fehlt der Faktor 2 vom Differenzieren, es ist aber x=0 und von daher in deinem Fall nicht relevant - jedoch in Zukunft beachten

> f'(x)=0
>  
> [mm]B^2=\bruch{A}{2B}0+B^2*e^{B*0}-B*C_1*e^{-B*0}[/mm]
>  
> [mm]B^2=B^2-B*C1[/mm]
>  
>
> damit ergibt sich dann
>
>
> 2B=B+C1+C2
>  [mm]B^2=B^2-B*C1[/mm]
>  
> C1=0
>  C2=B
>  würde dann raus kommen.

hab ich auch [ok] - soll natürlich nix heißen

> hmm ich hasse das rechnen mit Buchstaben für mich müss bei
> sowas am besten werte raus kommen.

Man gewöhnt sich an alles, hab ich mir sagen lassen [grins]

Liebe Grüße
Herby
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Bezug
Lösen einer DGL 2.Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:08 So 02.04.2006
Autor: Hero2000

Gut :-) freut mich


Dann danke ich allen die mir geholfen haben.
Vielleicht hilft diese Ausführliche Lösung auch anderen Leuten
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