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Forum "Differentialgleichungen" - Lösen durch Trennung der Var.
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Lösen durch Trennung der Var.: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Fr 15.11.2013
Autor: arti8

Aufgabe
[mm] 1+y^2=xy' [/mm]


Hallo,

Ich weiß leider nicht wie ich "y" aus arctan(y) löse.

Also hier mein Rechenweg.

[mm] 1+y^2=xy' [/mm]               / [mm] y'=\bruch{dy}{dx} [/mm]

[mm] 1+y^2=x\bruch{dy}{dx} [/mm]           /*dx

[mm] (1+y^2)dx=x*dy [/mm]           /:x       [mm] /:(1+y^2) [/mm]

[mm] \bruch{dx}{x}=\bruch{dy}{1+y^2} [/mm]     / [mm] \integral [/mm]

[mm] \integral\bruch{1}{x}dx=\integral\bruch{1}{1+y^2}dy [/mm]

ln(|x|)+C1=arctan(y)+C2      /-C2  /C1-C2=C

ln(|x|)+C=arctan(y)  


Hier stehe ich vor einem Rätsel. Ich dachte erstmal ich muss einfach mit tan multiplizieren ?

arctan(y)= [mm] \bruch{1}{tan(y)} [/mm] Diese Umformung dachte ich würde mir weiterhelfen, aber pustekuchen.

Hilfe ! :P

        
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Lösen durch Trennung der Var.: Tangens
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Fr 15.11.2013
Autor: Loddar

Hallo arti!


Um den [mm] $\arctan$ [/mm] zu eliminieren, musst Du auf beide Seiten der Gleichung jeweils die Umkehrfunktion anwenden; sprich: den [mm] $\tan$ [/mm] .

Damit ergibt sich dann:

[mm] $\tan\left( \ \ln|x|+C \ \right) [/mm] \ = \ y$


Gruß
Loddar

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Bezug
Lösen durch Trennung der Var.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Fr 15.11.2013
Autor: arti8

Ach sooo einfach ?

also nehmen wir an, ich hab folgende gelichung

sin(x)+C1*5x=arcsin(y)   / tan

tan(sin(x)+C1*5x)=y

und dann bin ich fertig ?

Bezug
                        
Bezug
Lösen durch Trennung der Var.: Unfug
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Fr 15.11.2013
Autor: Loddar

Hallo arti!


Das ist doch offensichtlich Unfug!

Um [mm] $\arcsin$ [/mm] zu eliminieren, musst Du die zugehörige Umkehrfunktion anwenden, welche hier selbstverständlich lautet: [mm] $\sin$ [/mm] !


Gruß
Loddar

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Lösen durch Trennung der Var.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Fr 15.11.2013
Autor: arti8

ja klar ist das unfug. :D das arcsin sollte eigentlich arctan sein, hab mich nur verschrieben.

So sollte es eigtl sein:

sin(x)+C1*5x=arctan(y)   / tan

tan(sin(x)+C1*5x)=y

So müsste es aber dann stimmen denke ich.

Bezug
                                        
Bezug
Lösen durch Trennung der Var.: nun richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Fr 15.11.2013
Autor: Loddar

Hallo arti!


So stimmt es auch. [ok]


Gruß
Loddar

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Lösen durch Trennung der Var.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 Fr 15.11.2013
Autor: arti8

Da Ergebniss der Aufgabe soll sein:


y=tan(ln(|Cx|)

Warum also nicht y=tan(ln(|x|)+C)  ?

Bezug
                
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Lösen durch Trennung der Var.: Logarithmusgesetz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Fr 15.11.2013
Autor: Loddar

Hallo arti!


Man kann hier wie folgt zusammenfassen mit $k \ := \ [mm] e^C$  [/mm] unter Anwendung eines MBLogarithmusgesetzes:

[mm] $\ln(x)+c [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)+\ln(k) [/mm] \ = \ [mm] \ln(k*x)$ [/mm]


Gruß
Loddar

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Lösen durch Trennung der Var.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Fr 15.11.2013
Autor: arti8

Ok, kann ich nachvollziehen. Wäre dennoch nicht drauf gekommen.

Also theoretisch müsste doch dann auch meine Lösung mit dem +C auch richtig sein, oder ?

Nur man könnte eine weitere Constante bilden wie du es mir verdeutlicht hast.
Diese Differentailgleichungen sind irgendwie schwammig. Irgendwie gibt es keine festegelegte Rechenweise.

Danke für die Hilfe.

Bezug
                                
Bezug
Lösen durch Trennung der Var.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Sa 16.11.2013
Autor: reverend

Hallo arti,

> Ok, kann ich nachvollziehen. Wäre dennoch nicht drauf
> gekommen.

Hm. Dann solltest Du Dir die Logarithmusgesetze nochmal anschauen. Die musst Du draufhaben, vor allem für Thermodynamik.

> Also theoretisch müsste doch dann auch meine Lösung mit
> dem +C auch richtig sein, oder ?

Klar. Das ist eine äquivalente Umformung.

> Nur man könnte eine weitere Constante bilden wie du es mir
> verdeutlicht hast.

Nein, in keinem Fall. Beide Varianten (Deine und die Musterlösung) sind ok, aber keine Mischung daraus.

> Diese Differentailgleichungen sind irgendwie schwammig.
> Irgendwie gibt es keine festegelegte Rechenweise.

Das macht sie eben zur hohen Kunst. Kochrezepte helfen hier nur sehr begrenzt weiter. Oft muss man wirklich für die einzelne DGl eigene Ideen aufbringen.

Andererseits sind sie nicht nur mathematisch nötig. Viele reale Vorgänge lassen sich bis heute nur über DGl.en mathematisch modellieren. Viele davon sind nicht oder nur lokal lösbar.

Im Maschinenbau wirst Du aber nur einer sehr begrenzten Auswahl von DGl-Typen begegnen, und für die meisten lernst Du auch Lösungswege kennen.

> Danke für die Hilfe.  

Grüße
reverend

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