Lösen durch Trennung der Var. < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Fr 15.11.2013 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | | [mm] 1+y^2=xy' [/mm] |
Hallo,
Ich weiß leider nicht wie ich "y" aus arctan(y) löse.
Also hier mein Rechenweg.
[mm] 1+y^2=xy' [/mm] / [mm] y'=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
[mm] 1+y^2=x\bruch{dy}{dx} [/mm] /*dx
[mm] (1+y^2)dx=x*dy [/mm] /:x [mm] /:(1+y^2)
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{x}=\bruch{dy}{1+y^2} [/mm] / [mm] \integral
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{x}dx=\integral\bruch{1}{1+y^2}dy
[/mm]
ln(|x|)+C1=arctan(y)+C2 /-C2 /C1-C2=C
ln(|x|)+C=arctan(y)
Hier stehe ich vor einem Rätsel. Ich dachte erstmal ich muss einfach mit tan multiplizieren ?
arctan(y)= [mm] \bruch{1}{tan(y)} [/mm] Diese Umformung dachte ich würde mir weiterhelfen, aber pustekuchen.
Hilfe ! :P
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo arti!
Um den [mm] $\arctan$ [/mm] zu eliminieren, musst Du auf beide Seiten der Gleichung jeweils die Umkehrfunktion anwenden; sprich: den [mm] $\tan$ [/mm] .
Damit ergibt sich dann:
[mm] $\tan\left( \ \ln|x|+C \ \right) [/mm] \ = \ y$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Fr 15.11.2013 | | Autor: | arti8 |
Ach sooo einfach ?
also nehmen wir an, ich hab folgende gelichung
sin(x)+C1*5x=arcsin(y) / tan
tan(sin(x)+C1*5x)=y
und dann bin ich fertig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo arti!
Das ist doch offensichtlich Unfug!
Um [mm] $\arcsin$ [/mm] zu eliminieren, musst Du die zugehörige Umkehrfunktion anwenden, welche hier selbstverständlich lautet: [mm] $\sin$ [/mm] !
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Fr 15.11.2013 | | Autor: | arti8 |
ja klar ist das unfug. :D das arcsin sollte eigentlich arctan sein, hab mich nur verschrieben.
So sollte es eigtl sein:
sin(x)+C1*5x=arctan(y) / tan
tan(sin(x)+C1*5x)=y
So müsste es aber dann stimmen denke ich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo arti!
So stimmt es auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Fr 15.11.2013 | | Autor: | arti8 |
Da Ergebniss der Aufgabe soll sein:
y=tan(ln(|Cx|)
Warum also nicht y=tan(ln(|x|)+C) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo arti!
Man kann hier wie folgt zusammenfassen mit $k \ := \ [mm] e^C$ [/mm] unter Anwendung eines  Logarithmusgesetzes:
[mm] $\ln(x)+c [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)+\ln(k) [/mm] \ = \ [mm] \ln(k*x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 15.11.2013 | | Autor: | arti8 |
Ok, kann ich nachvollziehen. Wäre dennoch nicht drauf gekommen.
Also theoretisch müsste doch dann auch meine Lösung mit dem +C auch richtig sein, oder ?
Nur man könnte eine weitere Constante bilden wie du es mir verdeutlicht hast.
Diese Differentailgleichungen sind irgendwie schwammig. Irgendwie gibt es keine festegelegte Rechenweise.
Danke für die Hilfe.
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Hallo arti,
> Ok, kann ich nachvollziehen. Wäre dennoch nicht drauf
> gekommen.
Hm. Dann solltest Du Dir die Logarithmusgesetze nochmal anschauen. Die musst Du draufhaben, vor allem für Thermodynamik.
> Also theoretisch müsste doch dann auch meine Lösung mit
> dem +C auch richtig sein, oder ?
Klar. Das ist eine äquivalente Umformung.
> Nur man könnte eine weitere Constante bilden wie du es mir
> verdeutlicht hast.
Nein, in keinem Fall. Beide Varianten (Deine und die Musterlösung) sind ok, aber keine Mischung daraus.
> Diese Differentailgleichungen sind irgendwie schwammig.
> Irgendwie gibt es keine festegelegte Rechenweise.
Das macht sie eben zur hohen Kunst. Kochrezepte helfen hier nur sehr begrenzt weiter. Oft muss man wirklich für die einzelne DGl eigene Ideen aufbringen.
Andererseits sind sie nicht nur mathematisch nötig. Viele reale Vorgänge lassen sich bis heute nur über DGl.en mathematisch modellieren. Viele davon sind nicht oder nur lokal lösbar.
Im Maschinenbau wirst Du aber nur einer sehr begrenzten Auswahl von DGl-Typen begegnen, und für die meisten lernst Du auch Lösungswege kennen.
> Danke für die Hilfe.
Grüße
reverend
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