Lösen LGS + dubiosen Parameter < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 05.12.2004 | | Autor: | pisty |
Gegeben ist das von einem Parameter λ R abhängige lineare Gleichungssystem:
x1 + x2 + λx3 = 1
x + λx2 + x3 = λ
λx1 + x2 + x3 = λ²
habe es nun wie folgt umgeform, und möchte wissen ob dies so in Ordnung ist.
Z1: 1 1 λ 1
Z2: 1 λ 1 λ
Z3: λ 1 1 λ²
Z1: 1 1 λ 1
Z4=Z1-Z2: 0 1-λ λ-1 1-λ
Z5=(λ*Z1)-Z3: 0 λ-1 λ²-1 λ-λ²
Z1: 1 1 λ 1
Z4: 0 1-λ λ-1 1-λ
Z6=Z4+Z5: 0 0 λ²+λ-2 -λ²+1
gefragt ist nun
a) Für welche λ ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar?
b) Für welche λ existieren unendlich viele Lösungen?
c) Für welche λ existieren keine Lösungen?
d) Berechnen Sie die Lösungen im Falle der Lösbarkeit.
dazu meine Antwort:
erstmal löse ich das LGS
x1= -1
x2= -2/(λ+2)
x3= -1/(λ-2)
stimmen diese Ergebnisse?
aus der 6. Zeile entnehme ich zudem λ²+λ-2.
Da dies ungelich Null ist - bedeutet dies das für dieses eine eindeutige Lösung vorliegt.
Wenn ich dies dann in die quadr. Lösungsformel eingebe, bekomme ich λ1=1 und λ2=-2 raus
wenn die Frage a) dann lautet für welche λ ist das GS eindeutig lösbar, so ist dies für
L=(λ≠1, λ≠-2)
wie verfahre ich aber mit den Aufgaben b-d?
sitz nun ne weile an der Aufgabe und komme nicht weiter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist das von einem Parameter λ R abhängige
> lineare Gleichungssystem:
>
> x1 + x2 + λx3 = 1
> x + λx2 + x3 = λ
> λx1 + x2 + x3 = λ²
>
> habe es nun wie folgt umgeform, und möchte wissen ob dies
> so in Ordnung ist.
>
> Z1: 1 1 λ 1
> Z2: 1 λ 1 λ
> Z3: λ 1 1 λ²
>
> Z1: 1 1 λ 1
> Z4=Z1-Z2: 0 1-λ λ-1 1-λ
>
> Z5=(λ*Z1)-Z3: 0 λ-1 λ²-1
> λ-λ²
>
> Z1: 1 1 λ 1
> Z4: 0 1-λ λ-1 1-λ
>
> Z6=Z4+Z5: 0 0 λ²+λ-2 -λ²+1
>
>
> gefragt ist nun
>
> a) Für welche λ ist das Gleichungssystem eindeutig
> lösbar?
> b) Für welche λ existieren unendlich viele Lösungen?
>
> c) Für welche λ existieren keine Lösungen?
> d) Berechnen Sie die Lösungen im Falle der Lösbarkeit.
>
>
>
> dazu meine Antwort:
>
> erstmal löse ich das LGS
>
> x1= -1
>
>
> x2= -2/(λ+2)
>
>
> x3= -1/(λ-2)
>
> stimmen diese Ergebnisse?
wie kommst du darauf? Aus deinen Umformungen siehst du doch das [mm] x_3=\frac{1-\lambda^2}{\lambda^2+\lambda-2}
[/mm]
>
> aus der 6. Zeile entnehme ich zudem λ²+λ-2.
> Da dies ungelich Null ist - bedeutet dies das für dieses
> eine eindeutige Lösung vorliegt.
> Wenn ich dies dann in die quadr. Lösungsformel eingebe,
> bekomme ich λ1=1 und λ2=-2 raus
>
> wenn die Frage a) dann lautet für welche λ ist das GS
> eindeutig lösbar, so ist dies für
> L=(λ≠1, λ≠-2)
das ist aber nur richtig, da zufällig deine zweite Zeile für [mm] \lambda\not=0 [/mm] mit eindeutigem [mm] x_3 [/mm] eindeutig lösbar ist!!
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> wie verfahre ich aber mit den Aufgaben b-d?
>
> sitz nun ne weile an der Aufgabe und komme nicht weiter
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
unendlich viele Lösungen existieren z.B. wenn in deinem System eine Nullzeile vorkommt. Also in deinem Fall für [mm] \lambda=1.
[/mm]
keine Lösungen gibt es z.B. wenn eine Gleichung der Form [mm] 0*x_1+0*x_2+0*x_3=a, a\not=0. [/mm] Bei dir also für [mm] \lambda=-2
[/mm]
mfg Verena
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