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| Aufgabe | Sei q eine Primzahl, G eine zyklische Gruppe der Ordnung [mm] $q^2$. [/mm]
Problem: "Finde x sodass [mm] $a^x=b$ [/mm] in G".
Zeige, dass, um dieses Problem zu lösen, das Lösen von 2 unterschiedlichen diskr. Logarithmus-Problemen in Gruppen der Ordnung q genügt. |
Hallo
Diese Frage wurde hier schon gestellt:
http://math.stackexchange.com/
Worauf aber will man hier heraus?
Ich habe [mm] $a^{q^2}=1$ [/mm] ?? [mm] $a^x=b=b^{q^2+1}=(a^x)^{q^2+1}$ [/mm] .
Finde ich [mm] $x_q [/mm] $ sodass [mm] $a^{x_q}=b$ [/mm] in einer zykl. Gruppe der Ordnung q. Dann gilt [mm] $(a^{x_q})^{q+1}=(a^{x_q})$ [/mm] in der zykl. Gruppe der Ordnung q. Aber wie komme ich zum urspr. Problem zurück? Jmd. eine Idee?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 So 23.03.2014 | | Autor: | hippias |
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das Problem wirklich verstanden habe: Sei $a$ ein Erzeuger von $G$ und [mm] $b\in [/mm] G$. Dann erzeugt [mm] $a^{q}$ [/mm] die eindeutig bestimmte Untergruppe $X$ der Ordnung $q$. Beachte, dass [mm] $b^{q}\in [/mm] X$.
Loese nun in $X$ die Gleichung [mm] $(a^{q})^{x_{q}}= b^{q}$ [/mm] und betrachte [mm] $a^{-x_{q}}b$. [/mm] Mache dir klar, dass [mm] $a^{-x_{q}}b\in [/mm] X$ ist. Nun loese die Gleichung [mm] $(a^{q})^{y_{q}}= a^{-x_{q}}b$ [/mm] und erhalte [mm] $a^{qy_{q}+x_{q}}=b$.
[/mm]
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