Lösbarkeit für Parameter a < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Do 08.03.2007 | | Autor: | confused |
wie bekommt man heraus für welche werte des parameters a eine eindeutige lösbarkeit vorliegt???
danke schon mal im voraus!!
lg
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> ax-2y=a
> 2x-ay=2
> wie bekommt man heraus für welche werte des parameters a
> eine eindeutige lösbarkeit vorliegt???
>
> danke schon mal im voraus!!
>
> lg
Hallo,
ziehe die erste Gleichung von der zweiten ab:
(2-a)x + (-a+2)y = 2-a
2x-ay=2
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn eine Gleichung sich NICHT in 0 = 0 auflöst. Falls a = 2 erkennt man aber, das aus der ersten Gleichung 0 = 0 wird. Somit ist das System für a = [mm] \IR \setminus [/mm] {2} eindeutig lösbar.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 08.03.2007 | | Autor: | confused |
ok
1. wie kommst du auf die 2x - ay=2 ???
bei auflösen der klammer komm ich auf 2x - ax - ay + 2y = 2 - a.
wie hast du also - ax und 2y eliminiert???
und wie kommst du dann darauf, dass 0=0 rauskommt?
sry bin echt confused ... ;)
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Hallo confused,
ich denke, so einfach, wie Patrick das sieht, ist das nicht, denn:
ax-2y=a
2x-ay=2 Addiere das (-2)-fache der ersten Gleichung zum a-fachen der zweiten Gleichung
ax-2y=a
[mm] (a^2-4)\cdot{}y=0
[/mm]
Für [mm] a\ne\pm2 [/mm] ist die zweite Gleichung nur für y=0 erfüllt, denn [mm] (a^2-4)\ne0!!
[/mm]
Für y=0 steht in diesem Falle in der zweiten Gleichung 0=0; anderenfalls hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Nach der ersten Gleichung ist mit y=0: [mm] ax=a\Leftrightarrow [/mm] x=1 für [mm] a\ne [/mm] 0, also eindeutige Lösung (x,y)=(1,0)
Und für a=0 ist 0=0, also eine wahre Aussage in Gleichung eins für beliebiges x
Zusammenfassend gibt es also nur für [mm] a\ne \pm2, [/mm] 0 eine eindeutige Lösung
Gruß
schachuzipus
Gruß
schachuzipus
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:55 Do 08.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn ich deine Lösung richtig gelesen habe, sagst du, dass es für [mm] a\not=\pm [/mm] 2 UND für [mm] a\not=0 [/mm] eine eindeutige Lösung gibt.
Beim [mm] a\not=\pm [/mm] 2 stimme ich dir zu.
Aber wenn du mal für a=0 einsetzt, so folgt doch folgendes:
0x-2y=0
2x-0y=2
=> y=0 und x=1
Und das ist für mich schon eine eindeutige Lösung.
Ich weiß nicht, ob der Fragesteller schon den Rechenweg mit der Determinante kennt, aber das Argument möchte ich jetzt einmal bringen:
Ein Gleichungsystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn seine Determinante ungleich Null ist.
[mm] \vmat{ a & -2 \\ 2 & -a } [/mm] = [mm] -a^2+4
[/mm]
Wann wird [mm] -a^2+4=0?
[/mm]
Wenn [mm] a^2= [/mm] => a=2 v a=-2
D.h. für [mm] a\not= \pm [/mm] 2 gibt es eine eindeutige Lösung des Gleichungssystem.
Sláin,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 08.03.2007 | | Autor: | confused |
ok
vielen dank das kann ich jetz auch nachvollziehen ... ;)
also wie ist deine Vorgehensweise`?
zuerst nach a auflösen und gucken wie die andere variable beschaffen sein muss?
kann man auch irgendwie direkt sehn ob eine gleichung eine eindeutige oder gar keine lösung hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Do 08.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
versuch ich also mal das ganze Zusammenzufassen:
Du siehst hier weiter oben einmal die Möglichkeit, die Anzahl der Lösungen mit Hilfe der Determinante zu bestimmen (falls ihr das noch nie gemacht habt, vergess das einfach wieder*g*)
Ansonsten verfolge die Lösung von schachuzipus:
Multipliziere die obere Gleichung mit 2
die untere gleichung mit -a
addiere danach beide Gleichungen.
Das führt dann zu einer Gleichung, die so ausschaut:
[mm] y(a^2-4)=0
[/mm]
Nun fragt man sich: Wann ist dieser Term unabhängig von y?
Denn wenn die obere Gleichung eine Lösung ergibt, egal was du für y einsetzt, so ist diese von y unabhängig.
Also...die obere Gleichung ist von y unabhängig, wenn [mm] a^2-4 [/mm] Null ergibt, denn dann steht da 0=0 , unabhängig von y.
Und das gilt nunmal für a=2 v a=-2
Für alle anderen a gibt es dann eine eindeutige Lösung.
Und zu deiner Frage, ob man das einem LGS direkt ansieht:
Ich denke, man sieht es nur in Ausnahmefällen.
Sláin,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Do 08.03.2007 | | Autor: | confused |
alles klar :)
vielen dank!
ihr hört bestimmt bald wieder von mir ... :P
P:S: ja die fragestellerin kennt sogar determinanten :P
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Hallo nochmal,
ich möchte nochmal auf eine relativ komfortable Lösungsmöglichkeiten mittels Matrizenumformungen hinweisen:
Also du hast das LGS
ax-2y=a
2x-ay=2
Das entspricht in Matrixschreibweise: [mm] \pmat{ a & -2 \\ 2 & -a }\cdot{}\vektor{x \\ y}=\vektor{a \\ 2}
[/mm]
Hier kannst du nun die sog. erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen:
[mm] \pmat{ a & -2 & | & a\\ 2 & -a & | & 2 }
[/mm]
Diese kannst du nun mit elementaren Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringen, wobei 3 Arten von Umformungen erlaubt sind:
(1) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen
(2) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (einer Zahl) [mm] \ne [/mm] 0
(3) Vertauschen von zwei Zeilen
Zeilenstufenform meint, dass die Einträge unterhalb des ersten Eintrags einer Zeile allesamt 0 sind
Dies ist eine recht elegante Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen ohne Variablen "mitzuschleppen" zu müssen
Gruß
schachuzius
Gruß
schachuzipus
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Ja, der Einwand ist berechtigt, da war ich wohl zu flüchtig 
Also bleibt, dass das LGS für [mm] a\ne\pm2 [/mm] eindeutig lösbar ist.
Für a=0 ist (x,y)=(1,0) in der Tat eine recht eindeutige Lösung
Gruß
schachuzipus
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