Lipschitzstetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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HI
Wie zeigt man folgendes:
[mm] f:(a,b)\to\IR [/mm] differenzierbar und [mm] f':(a,b)\to\IR [/mm] sei beschränkt
Zeigen Sie, dass aus gleichmäßiger Stetigkeit im Allgemeinen nicht Lipschitz-stetigkeit folgt.
Kann mir vielleicht jemand zeigen wie das geht? Oder wenigstens einen Ansatz/Tips/Hinweise dazu geben?
Wäre wirklich wichtig für mich!!!!!
Vielen, vielen, vielen Dank schonmal im Vorraus!!
eure Spider
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Di 29.01.2008 | | Autor: | Spider348 |
Lipschitzstetigkeit haben wir übrigens folgendermaßen definiert:
[mm] $|f(x)-f(y)|\le [/mm] L|x-y|$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> HI
> Wie zeigt man folgendes:
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> [mm]f:(a,b)\to\IR[/mm] differenzierbar und [mm]f':(a,b)\to\IR[/mm] sei
> beschränkt
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> Zeigen Sie, dass aus gleichmäßiger Stetigkeit im
> Allgemeinen nicht Lipschitz-stetigkeit folgt.
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> Kann mir vielleicht jemand zeigen wie das geht? Oder
> wenigstens einen Ansatz/Tips/Hinweise dazu geben?
> Wäre wirklich wichtig für mich!!!!!
>
> Vielen, vielen, vielen Dank schonmal im Vorraus!!
>
> eure Spider
die Aufgabe ist wohl sehr sinnfrei formuliert. Eine auf $(a,b)$ differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung ist in der Tat Lipschitzstetig:
Nach Voraussetzung ist nämlich mit $L:=sup [mm] \{|f'(x)|: x \in (a,b)\}$ [/mm] dann $0 [mm] \le [/mm] L < [mm] \infty$. [/mm]
Weiterhin gilt nach dem Mittelwertsatz für $x,y [mm] \in [/mm] (a,b)$, o.E. $x < y$:
[mm] $\exists$ $\xi \in [/mm] (x,y) [mm] \subset [/mm] (a,b)$ mit:
[mm] $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(\xi)$, [/mm]
was
$|f(y)-f(x)| [mm] \le [/mm] L |y-x|$ zur Folge hat.
Mit anderen Worten, wenn Du nun die Aufgabe hast, zu zeigen, dass es eine auf $(a,b)$ gleichmäßig stetige Funktion gibt, die nicht Lipschitzstetig ist, so kann, sofern $f$ differenzierbar ist, dann $f'$ schonmal nicht beschränkt sein.
An Deiner Stelle würde ich mir mal in naheliegende Weise dann beispielsweise
$f: (0,1) [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\sqrt{x}$
[/mm]
angucken.
Man kann leicht zeigen, dass $f$ gleichmäßig stetig ist (das kann man auch durch Betrachten von $g: [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=\sqrt{x}$ [/mm] leicht einsehen).
Und mal angenommen, $f$ wäre Lipschitzstetig. Dann gäbe es ein $L > 0$ mit (o.E. stets $0 < x < y < 1$)
[mm] $\sqrt{y}-\sqrt{x} \le [/mm] L(y-x)$
[mm] $\gdw [/mm] 1 [mm] \le L*(\sqrt{y}+\sqrt{x})$ [/mm]
(Beachte: [mm] $y-x=(\sqrt{y}-\sqrt{x})(\sqrt{y}+\sqrt{x})$)
[/mm]
Und wie könnte man nun $0 < x < y < 1$ wählen, um einen Widerspruch zu erhalten?
Gruß,
Marcel
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Hi
habe die glm-Stetigkeit von [mm] \wurzel{x} [/mm] bewiesen ,aber mir fält kein x und y ein, mit denen ich einen Widerspruch erzeugen könnte.
Auch ne Mitstudentin von mir hat mitgegrübelt, wir sind aber auf kein x und y gekommen, welches einen Widerspruch erzeugen könnte.
Bitte, bitte verrat es mir *schnuff*
bin echt am Ende
Spider
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also die gleichmäßige Stetigkeit kann man "von Hand" nachrechnen, oder aber man macht es sich einfach:
$g: [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=\sqrt{x}$ [/mm] ist als stetige Funktion auf einer kompakten Menge gleichmäßig stetig, damit ist natürlich auch $f: (0,1) [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\sqrt{x}$ [/mm] gleichmäßig stetig, weil [mm] $f=g_{|(0,1)}$ [/mm]
(Also: $f$ ist die Einschränkung von $g$ auf $(0,1)$).
Weiterhin ist $f$ nicht Lipschitzstetig:
Wiederholen wir das nochmal:
Angenommen, doch. Dann gibt es ein $L [mm] \ge [/mm] 0$ mit [mm] $|\sqrt{y}-\sqrt{x}| \le [/mm] L|y-x|$ für alle $x,y [mm] \in [/mm] (0,1)$.
$L=0$ fällt als Kandidat weg (Warum?). Also müßte jedenfalls $L > 0$ gelten.
Nun nehmen wir $0 < x < y < 1$ an. Anhand meiner Rechnung erkennst Du doch, dass für alle $0 < x < y < 1$ dann folgt:
$1 [mm] \le L*(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $(\*)$ $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \le [/mm] L$.
Im Prinzip folgt nun der Widerspruch, weil man bei $0 < x < y < 1$ dann $x,y$ von rechts gegen die $0$ laufen lassen kann. Also man wähle z.B. [mm] $y=y_n=\frac{4}{(n+2)^2}$ [/mm] und [mm] $x=x_n=\frac{1}{(n+2)^2}$ [/mm] (beachte: [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] sind (Null-)Folgen in $(0,1)$, zudem gilt für alle $n [mm] \in \IN$: [/mm]
$0 < [mm] x_n [/mm] < [mm] y_n [/mm] < 1$),
und dann ist aber die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $a_n:=\frac{1}{\sqrt{x_n}+\sqrt{y_n}}=\frac{1}{\frac{1}{n+2}+\frac{2}{n+2}}=\frac{n+2}{3}$ [/mm] unbeschränkt, aber wegen [mm] $(\*)$ [/mm] müsste sie durch $L$ nach oben beschränkt sein.
Gerade anfangs, wenn man aber noch nicht so geübt im Umgang mit Folgen ist, kann man auch so überlegen:
In [mm] $(\*)$ [/mm] erhält man einen Widerspruch, wenn man $0 < x < y < 1$ so angeben kann, dass
[mm] $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} [/mm] > L$.
Nun:
1. Fall:
Ist $0 < L [mm] \le [/mm] 1$, so wählen wir [mm] $x:=\frac{1}{16}$ [/mm] und [mm] $y:=\frac{1}{4}$ [/mm] (beachte $0 < x < y < 1$), dann folgt:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}=\frac{4}{3} [/mm] > 1 [mm] \ge [/mm] L$, also
[mm] $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} [/mm] > L$ im Widerspruch zu [mm] $(\*)$.
[/mm]
2. Fall:
Ist $L [mm] \ge [/mm] 1$, so setzen wir:
[mm] $x:=\frac{1}{16L^2} \in [/mm] (0,1)$ und [mm] $y:=\frac{1}{4L^2} \in [/mm] (0,1)$.
Dann folgt:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{1}{\frac{1}{4L}+\frac{1}{2L}}=\frac{4L}{3}=\frac{4}{3} [/mm] L > L$, was auch in diesem Falle [mm] $(\*)$ [/mm] widerspricht.
Gruß,
Marcel
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