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1) Die Funktion f: [mm] \IR^2\to \IR, [/mm] f(x,y):= ysinx erfüllt eine globale Lipschitz Bedingung
2) [mm] f:\IR^2\to \IR, [/mm] f(x,y):=xy erfüllt eine lokale Lipschlitz Bedingung, aber keine globale.
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Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter...
Könnt ihr mir vielleicht an einem ähnlichen Beispiel erklären, wie man an einer Funktion zeigt, ob eine globale Lipschitz Bedingung bzw eine Lipschitzbedingung vorliegt.
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
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> 1) Die Funktion f: [mm]\IR^2\to \IR,[/mm] f(x,y):= ysinx erfüllt
> eine globale Lipschitz Bedingung
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> 2) [mm]f:\IR^2\to \IR,[/mm] f(x,y):=xy erfüllt eine lokale
> Lipschlitz Bedingung, aber keine globale.
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> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter...
Ich nehme an mit Lipschitzbed. meinst Du Lipschitzbed. bezüglich y.
Zu 1) |f(x,y)-f(x,z)| = |(y-z)sinx| [mm] \le [/mm] |y-z|
Und Du hast, was Du brauchst.
Zu2) Sie K ein Kreischeibe im [mm] \IR^2, [/mm] diese ist beschränkt, also ist mit einem c>0:
|x| [mm] \le [/mm] c für jedes (x,y) [mm] \in [/mm] K. Für (x,y), (x,z) [mm] \in [/mm] K gilt dann:
|f(x,y)-f(x,z)| = |(y-z)x| [mm] \le [/mm] c|y-z|
Und Du hast, was Du brauchst.
FRED
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> Könnt ihr mir vielleicht an einem ähnlichen Beispiel
> erklären, wie man an einer Funktion zeigt, ob eine globale
> Lipschitz Bedingung bzw eine Lipschitzbedingung vorliegt.
>
> MfG
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Mi 29.10.2008 | | Autor: | strange_w |
Danke!
Ach und das ist schon die komplette Lösung???? Ich dachte, das muss viel umfangreicher dargestellt werden!
Das mus sich jetzt erstmal versuchen nachzuvollziehen!!! :))))
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:41 So 02.11.2008 | | Autor: | strange_w |
Aber wie setze ich ich die Ungleichung ein, und nach was muss ich umstellen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 So 02.11.2008 | | Autor: | Disap |
> Aber wie setze ich ich die Ungleichung ein, und nach was
> muss ich umstellen?
Bei welchem Fall denn? Was genau ist dir unklar? Fall 2)? Mit der Kreisschreibe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 So 02.11.2008 | | Autor: | strange_w |
bei beiden....ich habe die Ungleichung
|f(x,y)-f(x,z)| = |(y-z) sinx| [mm] \le [/mm] |y-z|
aber wie zeige ich das? oder wie stelle ich die ungleichung um? bzw wie muss ich das ganze umformen?
und bei der zweiten komme ich auch nicht klar :(((((
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 So 02.11.2008 | | Autor: | Disap |
> Aber wie setze ich ich die Ungleichung ein, und nach was
> muss ich umstellen?
Die Aufgabe 1 war ja:
> 1) Die Funktion f: $ [mm] \IR^2\to \IR, [/mm] $ f(x,y):= ysinx erfüllt
> eine globale Lipschitz Bedingung
Jetzt hat Fred97 ja geschrieben:
$ |f(x,y)-f(x,z)| = |(y-z)sinx| [mm] \le [/mm] |y-z| $
Für $ |f(x,y)-f(x,z)|$ gilt nach Definition
$ |f(x,y)-f(x,z)| = |(y-z)sinx| = |ysinx - zsinx| = |(y-z)sinx| $
Überlegen wir uns jetzt, welche Werte der Sinus annimmt, für alle x nimmt der Sinus nur Werte (auf der Y-Achse) zwischen 1 und -1 (bzw. sogar auch 1 und -1), also gilt
$sin(x) [mm] \le [/mm] 1$ [mm] \forall [/mm] x
$sin(x) [mm] \ge [/mm] -1$ [mm] \forall [/mm] x
[mm] $\Rightarrow |sin(x)|\le [/mm] 1$ [mm] \forall [/mm] x
Copy Paste:
$ |f(x,y)-f(x,z)| = |(y-z)sinx| = |ysinx - zsinx| = |(y-z)sinx| $
Definition vom Betrag:
$|(y-z)sinx| = |y-x|*|sin(x)|$
Wie gerade gezeigt, ist der Betrag vom sinus kleiner gleich 1, also
$|(y-z)sinx| = [mm] |y-x|*|sin(x)|\le [/mm] |y-x|*1 = |y-x|$
Aufgabe 2 war
> 2) $ [mm] f:\IR^2\to \IR, [/mm] $ f(x,y):=xy erfüllt eine lokale
> Lipschlitz Bedingung, aber keine globale.
Da hat Fred97 gesagt
Zu2) Sie K ein Kreischeibe im $ [mm] \IR^2, [/mm] $ diese ist beschränkt, also ist mit einem c>0:
(die Kreisscheibe wählen wir, weil wir eine lokale L-Bedingung nachweisen wollen)
|x| $ [mm] \le [/mm] $ c für jedes (x,y) $ [mm] \in [/mm] $ K.
(also für alle x aus der Kreisscheibe)
Für (x,y), (x,z) $ [mm] \in [/mm] $ K gilt dann:
(nach Definition, einfach einsetzen und ausklammern, so wie oben halt von mir detailliert gemacht)
$|f(x,y)-f(x,z)| = |(y-z)x|$
Jetzt kannst du, da hier ein Produkt vorliegt:
$|(y-z)x| [mm] \le [/mm] |y-z|*|x|$
und |x| war kleiner gleich c, da wir das x aus der Kreisscheibe herausnehmen, und dann folgt
$|y-z|*|x| [mm] \le [/mm] c*|y-z| $
also für betrag x einfach nur c eingesetzt und das Gleichheitszeichen durch ein kleiner Gleich ersetzt
Und fertig.
Oder was bleiben bei dir noch für Fragen offen?
MfG
Disap
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