Lipschitz-Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:18 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Cauchy123 |
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
Sehr geehrte Community,
mich interessiert folgende Fragestellung:
wenn die abgeleitete Funktion f' Lipschitz-stetig ist, lässt sich daraus auch die Lipschitz-Stetigkeit der Funktion f folgern, wenn wir annehmen, dass f beschränkt ist?
Wie könnte man dies beweisen?
Wenn die Aussage "ja" lauten sollte, würde die selbe Aussage auch für die Hölder-Stetigkeit anstatt der Lipschitz-Stetigkeit folgen?
Ich wäre euch für eine hilfreiche Erklärung sehr dankbar.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
da Dir bisher noch niemand geantwortet hat:
> [Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.]
>
> Sehr geehrte Community,
>
> mich interessiert folgende Fragestellung:
>
> wenn die abgeleitete Funktion f' Lipschitz-stetig ist,
> lässt sich daraus auch die Lipschitz-Stetigkeit der
> Funktion f folgern, wenn wir annehmen, dass f beschränkt
> ist?
>
> Wie könnte man dies beweisen?
Ist das eine selbst ausgedachte Frage, oder ist es eine Aufgabe, wo ganz
klar drin steht, dass die Aussage stimmt - oder dass sie falsch ist. Entweder
im Formulierungssinn von "Beweisen Sie, dass gilt: ..." oder etwa "Finden Sie
ein Beispiel, das belegt, dass folgende Aussage falsch ist: ..."
> Wenn die Aussage "ja" lauten sollte,
Wenn das stimmen sollte, fiele mir gerade nur der Mittelwertsatz der
Integralrechnung ein, mit dem man sowas vielleicht folgern könnte. Oder
natürlich der HDI und der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Hast Du
Dir denn schonmal selbst ein paar Beispiele angeguckt?
> würde die selbe
> Aussage auch für die Hölder-Stetigkeit anstatt der
> Lipschitz-Stetigkeit folgen?
?? In welchem Sinne: Lipschitzstetige Funktionen sind eh spezielle
![[]](/images/popup.gif) Hölder-stetige Funktionen; setze [mm] $\alpha=1\,.$ [/mm] Willst Du vielleicht etwas
stärkeres wie Lipschitzstetigkeit haben (wenn ich das richtig sehe, sollte
dann [mm] $\alpha [/mm] > 1$ wählbar sein; denn eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $[0,1)$ geht i.a.
'schneller gegen [mm] $0\,,$' [/mm] wenn 'man sie mit einem Exponenten $>1$ versieht...')?
(Edit: Lassen wir das Durchgestrichene mal weg, bis ich mir mehr Gedanken
darüber gemacht habe ^^)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen lieben Dank noch einmal für deine Hilfe.
Meine Frage resultiert aus einem Thema aus der Statistik.
Dort werden mehrere Bedingungen an die Kernschätzer gestellt, unter anderem die Hölder-Stetigkeit der r-ten Ableitung (alpha wird allgemein größer als 0 aber kleiner gleich 1 genommen), woraus laut Aussage des Professors die Hölder-Stetigkeit auch für Funktionen vom kleineren Ableitungsgrad folgt..
Ich habe die Frage etwas einfacher gestellt, also etwas spezieller: für Lipschitz-stetige Funktionen. Allgemein wäre zu zeigen:
Wenn [mm] f^{n} [/mm] Hölder-stetig ist, also falls gilt:
[mm] |f^{n}(x)-f^{n}(y)|\le L\,|x-y|^{\alpha}, [/mm] dann wäre zu zeigen:
[mm] |f^{n-1}(x)-f^{n-1}(y)|\le L'\,|x-y|^{\alpha} [/mm] für irgendeine Konstante L'
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen lieben Dank noch einmal für deine Hilfe.
>
> Meine Frage resultiert aus einem Thema aus der Statistik.
>
> Dort werden mehrere Bedingungen an die Kernschätzer
> gestellt, unter anderem die Hölder-Stetigkeit der r-ten
> Ableitung (alpha wird allgemein größer als 0 aber kleiner
> gleich 1 genommen), woraus laut Aussage des Professors die
> Hölder-Stetigkeit auch für Funktionen vom kleineren
> Ableitungsgrad folgt..
>
> Ich habe die Frage etwas einfacher gestellt, also etwas
> spezieller: für Lipschitz-stetige Funktionen. Allgemein
> wäre zu zeigen:
>
> Wenn [mm]f^{n}[/mm] Hölder-stetig ist, also falls gilt:
>
> [mm]|f^{n}(x)-f^{n}(y)|\le L\,|x-y|^{\alpha},[/mm] dann wäre zu
> zeigen:
>
> [mm]|f^{n-1}(x)-f^{n-1}(y)|\le L'\,|x-y|^{\alpha}[/mm] für
> irgendeine Konstante L'
und [mm] $f^{(n)}$ [/mm] und [mm] $f^{(n-1)}$ [/mm] sollen zum gleichen Exponenten Hölderstetig sein?
Gruß,
Marcel
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"und sollen zum gleichen Exponenten Hölderstetig sein? "
Das wäre für weitere Betrachtungen perfekt.
Es scheint aber auch zu genügen, wenn die "restlichen" Ableitungen zu kleineren Exponenten als [mm] \alpha [/mm] Hölderstetig sein würden.
Die Lipschitz-Schranken L, L' usw. dürfen verschieden ausfallen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 06.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 06.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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