Lipschitz-Konstante < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mo 21.05.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | a) Prüfe, ob die Abbildungen dehnungsbeschränkt sind und gib ggf. die Lipschitz-Konstante an.
i) f: [2,4]-->IR, x --> [mm] \wurzel{2x+1}
[/mm]
ii) f: [4, unendlich [-->IR, x--> [mm] \wurzel{x}
[/mm]
iii) f: [-2, 2[ --> IR, x --> [mm] \wurzel{x^2+1}
[/mm]
b) Zeige: jede reelle Polynomfunktion f vom Grad n ist auf jedem abgeschlossenen Intervall [a,b] Teilmenge von IR dehnungsbeschränkt. Unter welchen Bedingungen ist f auf ganz IR dehnungsbeschränkt? |
zu a) Ich weiß, dass die Bedingung für Lipschitz-stetig folgende ist: es muss eine positive relle Zahl L existieren, sodass:
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L |x-y| .
Ich frage mich bloß , wie man das anwendet...
Eingesetzt ergibt sich für i)
|f(x)-f(y)|=| [mm] \wurzel{2x+1} [/mm] - [mm] \wurzel{2y+1}| [/mm] . Wie geht' s dann aber weiter / wie kann man das vereinfachen und wie bekommt man dann die Lipschitz-Konstante raus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und f:I [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar und ist f' auf I beschränkt, so folgt aus dem Mittelwertsatz, dass f auf I dehnungsbeschränkt ist. Als Lipschitzkonstante kannst Du L:=sup { |f'(x): x [mm] \in [/mm] I } nehmen.
Mach Dir das klar.
Damit solltest Du sehen, dass alle Funktionen in a) dehnungsbeschränkt sind.
Teil b) kannst Du damit auch erschlagen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 21.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Danke für die Antwort! Diese Ansätze hatte ich auch schon gefunden. Das Problem ist aber, dass wir noch keine Differenzierbarkeit / Ableitung eingeführt haben... Es muss also (wahrscheinlich) auch anders gehn...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort! Diese Ansätze hatte ich auch schon
> gefunden. Das Problem ist aber, dass wir noch keine
> Differenzierbarkeit / Ableitung eingeführt haben... Es
> muss also (wahrscheinlich) auch anders gehn...
Natürlich geht das auch anders.
Ich zeig Dir mal a) (i)
Es ist $ [mm] |f(x)-f(y)|=|\wurzel{2x+1}-\wurzel{2y+1}|= \bruch{|2x+1-(2y+1)|}{\wurzel{2x+1}+\wurzel{2x+1}}= \bruch{|2x-2y|}{\wurzel{2x+1}+\wurzel{2x+1}}$
[/mm]
Mach nun Du weiter.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 21.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Zunächst mal eine Frage: Müsste da im nenner nicht einmal y statt y stehen?
Also dann würde ich die 2 im Zähler ausklammern , sodass man [mm] \bruch{2|x-y|}{\wurzel{2x+1}+ \wurzel{2y+1}} [/mm] und dann würde ich versuchen dies [mm] \le \bruch{2}{...} [/mm] |x-y| zu setzen. Ich frage mich jetzt noch wie man auf das ... kommt? Ist es ok. wenn man dann die linke Intervallgrenze nimmt und das für x bzw. y einsetzt? Dann würde man ...
[mm] \le \bruch{2}{2 \wurzel{5} } [/mm] |x-y| = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{5} } [/mm] |x-y|dort stehen haben
Und noch mein Ansatz zu Teil b)
Jede konstante Funktion f: IR-->IR, x--> x ist Lipschitz-stetig:
|f(x)-f(y)|=|c-c|=0 [mm] \le [/mm] 1|x-y|
Außerdem ist die id: IR-->IR Lipschitz-stetig:
|id(x)-id(y)|=|x-y| [mm] \le [/mm] 1|x-y|.
Wir haben in der VL bereits bewiesen, dass [mm] f(x)=x^n [/mm] auf jedem beschränkten Intervall Lipschitz-stetig ist. [mm] x-->x^{n+1} [/mm] ist dann als Produkt von [mm] x-->x^n [/mm] und id ebenfalls Lip-stetig.
Da konstante Funktionen Lip-stetig sind, ist auch x--> [mm] cx^n [/mm] Lip-stetig. Und damit ist insgesamt p:[a,b]-->IR , [mm] p(x)=a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + ... + [mm] a_n x^n [/mm] Lip-stetig.
Ist das so korrekt?
Unter welchen Bedingungen das auf ganz IR gilt, weiß ich allerdings nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Di 22.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Was sagt ihr dazu?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Di 22.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Ich habe jetzt auch noch bei b) eine Beweisidee hinzugefügt. Sind a) und b) soweit ok?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zunächst mal eine Frage: Müsste da im nenner nicht einmal
> y statt y stehen?
Ja, da hab ich mich verschrieben.
>
> Also dann würde ich die 2 im Zähler ausklammern , sodass
> man [mm]\bruch{2|x-y|}{\wurzel{2x+1}+ \wurzel{2y+1}}[/mm] und dann
> würde ich versuchen dies [mm]\le \bruch{2}{...}[/mm] |x-y| zu
> setzen. Ich frage mich jetzt noch wie man auf das ...
> kommt? Ist es ok. wenn man dann die linke Intervallgrenze
> nimmt und das für x bzw. y einsetzt? Dann würde man ...
> [mm]\le \bruch{2}{2 \wurzel{5} }[/mm] |x-y| = [mm]\bruch{1}{ \wurzel{5} }[/mm]
> |x-y|dort stehen haben
O.K.
>
>
> Und noch mein Ansatz zu Teil b)
>
> Jede konstante Funktion f: IR-->IR, x--> x ist
Du meinst wohl x --> c
> Lipschitz-stetig:
> |f(x)-f(y)|=|c-c|=0 [mm]\le[/mm] 1|x-y|
>
> Außerdem ist die id: IR-->IR Lipschitz-stetig:
> |id(x)-id(y)|=|x-y| [mm]\le[/mm] 1|x-y|.
Ja.
>
> Wir haben in der VL bereits bewiesen, dass [mm]f(x)=x^n[/mm] auf
> jedem beschränkten Intervall Lipschitz-stetig ist.
> [mm]x-->x^{n+1}[/mm] ist dann als Produkt von [mm]x-->x^n[/mm] und id
> ebenfalls Lip-stetig.
> Da konstante Funktionen Lip-stetig sind, ist auch x--> [mm]cx^n[/mm]
> Lip-stetig. Und damit ist insgesamt p:[a,b]-->IR , [mm]p(x)=a_0[/mm]
> + [mm]a_1[/mm] x + ... + [mm]a_n x^n[/mm] Lip-stetig.
> Ist das so korrekt?
Na ja. Du solltest noch zeigen: sind f und g Lipschitzstetig, so auch f+g.
> Unter welchen Bedingungen das auf ganz IR gilt, weiß ich
> allerdings nicht.
Du sollst ja drüber nachdenken und tüfteln !
Sei [mm] p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] Lip.-stetig.
Also ex. ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:
|p(x)-p(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| für alle x,y
Mit y=0 folgt:
[mm] |p(x)-a_0| \le [/mm] L|x| für alle x
D.h.:
[mm] |a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n| \le [/mm] L |x| für alle x
Nun überlege Dir, dass dann auch gilt:
[mm] |a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1}| \le [/mm] L für alle x.
Damit ist das Polynom [mm] a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1} [/mm] was ? auf [mm] \IR.
[/mm]
Was folgt für [mm] a_2, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] ?
FRED
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Dann noch zu Teil a) ii) und iii)
ii) |f(x)-f(y)|=| [mm] \wurzel{x}- \wurzel{y}| [/mm] = [mm] \bruch{|x-y|}{ \wurzel{x} + \wurzel{y}} \le \bruch{4}{ \wurzel{2}} [/mm] |x-y|
iii) |f(x)-f(y)|= | [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] - [mm] \wurzel{y^2+1}|= \bruch{x^2-y^2}{\wurzel{x^2+1} + \wurzel{y^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{|x|+|y|}{\wurzel{x^2+1}+ \wurzel{y^2+1}} [/mm] |x-y| [mm] \le \bruch{2}{ \wurzel{5}} [/mm] |x-y|
Ist das korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 24.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 22.05.2012 | | Autor: | rollroll |
zu b) Also dass f+g Lip-stetig ist, hab ich jetzt auch bewiesen.
,,Damit ist das Polynom $ [mm] a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1} [/mm] $ was ? auf IR?''
Ich würde sagen: dehnungsbeschränkt?
Was für die Koeffizienten folgen soll, ist mir nicht ganz klar.... (auch Lip-stetig?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:14 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> zu b) Also dass f+g Lip-stetig ist, hab ich jetzt auch
> bewiesen.
>
> ,,Damit ist das Polynom [mm]a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1}[/mm] was ? auf
> IR?''
> Ich würde sagen: dehnungsbeschränkt?
Quatsch !
Aus [mm] |a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1}| \le [/mm] L für alle x folgt, dass [mm]a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1}[/mm] konstant ist.
Was folgt also für [mm] a_2,...., a_n [/mm] ?
FRED
>
> Was für die Koeffizienten folgen soll, ist mir nicht ganz
> klar.... (auch Lip-stetig?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Mi 23.05.2012 | | Autor: | rollroll |
... dass [mm] a_2 [/mm] , ..., [mm] a_n [/mm] =0 sind.
War das, was ich zu Teil a) geschreiben hatte eigentlich ok? (Teile ii) und iii))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> ... dass [mm]a_2[/mm] , ..., [mm]a_n[/mm] =0 sind.
Ja
>
> War das, was ich zu Teil a) geschreiben hatte eigentlich
> ok? (Teile ii) und iii))
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mi 23.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Noch zwei Fragen zu Teil a)
1. Ich hatte ja immer für x und y die linke Intervallgrenze eingesetzt, kann man auch irgendeine beliebige Zahl die Element des Intervalls ist, einsetzen?
2. Muss man für x und y immer dasselbe einsetzen?
Und noch zu b) Kann man dann schlussendlich folgern, dass [mm] |a_1| \le [/mm] L ist? Damit wäre dann ja alles gezeigt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Noch zwei Fragen zu Teil a)
> 1. Ich hatte ja immer für x und y die linke
> Intervallgrenze eingesetzt, kann man auch irgendeine
> beliebige Zahl die Element des Intervalls ist, einsetzen?
>
> 2. Muss man für x und y immer dasselbe einsetzen?
Ich zeigs Dir mal für a) i)
Wegen x [mm] \ge [/mm] 2 ist 2x+1 [mm] \ge5, [/mm] also [mm] \wurzel{2x+1} \ge \wurzel{5}
[/mm]
Fazit: [mm] \bruch{1}{\wurzel{2x+1}} \le \bruch{1}{\wurzel{5}}
[/mm]
>
> Und noch zu b) Kann man dann schlussendlich folgern, dass
> [mm]|a_1| \le[/mm] L ist? Damit wäre dann ja alles gezeigt, oder?
nein. Wenn Du annimmst, das [mm] p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n [/mm] auf [mm] \IR [/mm] Lip.-Stetig ist, so folgt (s.o.):
[mm] a_2=...=a_n=0.
[/mm]
Also ist [mm] p(x)=a_0+a_1x.
[/mm]
Umgekehrt: ist [mm] p(x)=a_0+a_1x, [/mm] so ist
[mm] |p(x)-p(y)|=|a_1(x-y)|=|a_1|*|x-y| [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
p ist also Lip.-Stetig auf [mm] \IR.
[/mm]
FAZIT: ist p ein Polynom, so gilt:
p ist Lip.-Stetig auf [mm] \IR \gdw [/mm] Grad(p) [mm] \le [/mm] 1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mi 23.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Wenn ich's auf dieem weg mache, hätte ich aber doch bei ii) x [mm] \ge [/mm] 4 --> [mm] \wurzel{x} \ge [/mm] 2 und damit [mm] \bruch{1}{ \wurzel {x}} \le [/mm] 1/2 erhalten müssen, also 1/2 als Lip-Konstante, ich hatte aber 4/ [mm] \wurzel{2} [/mm] raus.
und bei iii) hätte ich ja dann mit [mm] x^2+1 \ge [/mm] 5 als Lip-Konstante 1/ [mm] \wurzel{5} [/mm] bekommen müssen, ich hatte aber mit obiger Rechnung 2/ [mm] \wurzel{5} [/mm] raus...
Bin jetzt ein wenig verwirrt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist L [mm] \ge [/mm] 0 und
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| ,
so gilt natürlich auch
|f(x)-f(y)| [mm] \le L_1 [/mm] |x-y| ,
wenn [mm] L_1 \ge [/mm] L ist.
Daher sind Deine Abschätzungen auch richtig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Zunächst mal eine Frage: Müsste da im nenner nicht einmal
> > y statt y stehen?
>
> Ja, da hab ich mich verschrieben.
nicht nur Du:
Denn ich schreibe übrigens ständig [mm] $\red{y}$ [/mm] statt [mm] $\red{y}$ [/mm] (oder a statt a, oder b statt b, oder c statt c, ...) 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:55 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > > Zunächst mal eine Frage: Müsste da im nenner nicht einmal
> > > y statt y stehen?
> >
> > Ja, da hab ich mich verschrieben.
>
> nicht nur Du:
> Denn ich schreibe übrigens ständig [mm]\red{y}[/mm] statt [mm]\red{y}[/mm]
> (oder a statt a, oder b statt b, oder c statt c, ...)
>
>
> Gruß,
> Marcel
Moin Marcel,
aber Vorsicht, wenn Du d statt D schreibst:
Wäre er doch nur Dichter!
Wäre er doch nur dichter!
Oder B statt b:
Sich brüsten und anderem zuwenden.
Sich Brüsten und anderem zuwenden.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Abend Fred,
> Moin Marcel,
>
> aber Vorsicht, wenn Du d statt D schreibst:
>
> Wäre er doch nur Dichter!
> Wäre er doch nur dichter!
>
> Oder B statt b:
>
> Sich brüsten und anderem zuwenden.
> Sich Brüsten und anderem zuwenden.
der Spruch ist ja schon fast T-Shirt-druckreif:
"Sich Bbrüsten und anderem zuwenden!"
Gruß,
Marcel
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