www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Lipschitz-Konstante
Lipschitz-Konstante < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lipschitz-Konstante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Fr 20.06.2008
Autor: Lessequal

Aufgabe
Seien a, b [mm] \in \IR, [/mm] a < b, und sei f : [a, b] [mm] \to \IR [/mm] stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass f
Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante
L = max |f'(x)|
    [mm] x\in[a,b] [/mm]
ist.

also ich komm hier auch leide rnicht nehr weiter. habe mir das kriterum auch schon angeschaut womit wie es zeigen sollen....

        
Bezug
Lipschitz-Konstante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Fr 20.06.2008
Autor: Somebody


> Seien a, b [mm]\in \IR,[/mm] a < b, und sei f : [a, b] [mm]\to \IR[/mm]
> stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass f
>  Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante
>  L = max |f'(x)|
>      [mm]x\in[a,b][/mm]
>  ist.
>  also ich komm hier auch leide rnicht nehr weiter. habe mir
> das kriterum auch schon angeschaut womit wie es zeigen
> sollen....

Was ist das Problem? - Es handelt sich doch um eine direkte Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechung. Denn für alle [mm] $x_1,x_2$ [/mm] aus $[a;b]$ muss es, gemäss Mittelwertsatz der Differentialrechnung, ein [mm] $\xi\in [/mm] ]a,b[$ geben, so dass gilt

[mm]f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)\cdot (x_2-x_1)[/mm]


Daraus erhältst Du, unter Verwendung der wegen der Stetigkeit von $f'$ auf $[a;b]$ endlichen Konstanten $L$, dass gilt

[mm]|f(x_2)-f(x_1)|=|f'(\xi)|\cdot |x_2-x_1|\leq L\cdot |x_2-x_1|[/mm]

Da für die Gültigkeit des Ungleichheitszeichens [mm] $x_{1,2}, \xi \in [/mm] [a;b]$ beliebig sein dürfen, ist $L$ in der Tat eine Lipschitzkonstante für $f$.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]