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| Aufgabe | Sei f eine ganze Funktion. Beweisen Sie:
Gibt es eine Zahl M [mm] \in \IR [/mm] , so dass für alle z [mm] \in \IC [/mm] gilt: Re f(z) [mm] \le [/mm] M,
dann ist f konstant. |
Hallo!
Wir haben einen Beweis dazu, aber verstehen eine Sache nicht ganz.
Der Beweis ist folgender:
Nehmen wir an, es gibt M [mm] \in \IR [/mm] mit Re f(z) [mm] \le [/mm] M für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
Es gilt |m+1-f(z)| [mm] \ge [/mm] |Re(m+1-f(z))| [mm] \ge [/mm] Re(m+1-f(z)) [mm] \ge [/mm] 1
Dann ist g: [mm] \IC \to \IC, [/mm] definiert durch g(z) = [mm] \bruch{1}{m+1-f(z)}, [/mm] holomorph und es gilt |g(z)| [mm] \le [/mm] 1 für alle z [mm] \in \IC
[/mm]
Der Satz von Liouville liefert das Ergebnis.
Unser Problem ist folgendes:
Warum dürfen wir diesen Beweis mit so einer "speziellen" Funktion g machen? Es ist doch nicht jede ganze Funktion so aufgebaut, oder?
Kann uns da jemand helfen?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Do 16.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f eine ganze Funktion. Beweisen Sie:
> Gibt es eine Zahl M [mm]\in \IR[/mm] , so dass für alle z [mm]\in \IC[/mm]
> gilt: Re f(z) [mm]\le[/mm] M,
> dann ist f konstant.
> Hallo!
> Wir haben einen Beweis dazu, aber verstehen eine Sache
> nicht ganz.
> Der Beweis ist folgender:
> Nehmen wir an, es gibt M [mm]\in \IR[/mm] mit Re f(z) [mm]\le[/mm] M für
> alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> Es gilt |m+1-f(z)| [mm]\ge[/mm] |Re(m+1-f(z))| [mm]\ge[/mm]
> Re(m+1-f(z)) [mm]\ge[/mm] 1
Es ist wohl m = M ???
> Dann ist g: [mm]\IC \to \IC,[/mm] definiert durch g(z) =
> [mm]\bruch{1}{m+1-f(z)},[/mm] holomorph und es gilt |g(z)| [mm]\le[/mm] 1
> für alle z [mm]\in \IC[/mm]
> Der Satz von Liouville liefert das
> Ergebnis.
>
> Unser Problem ist folgendes:
> Warum dürfen wir diesen Beweis mit so einer "speziellen"
> Funktion g machen?
Ja, warum denn nicht ? Oben wurde gezeigt, dass die Funktion h(z):=m+1-f(z) auf [mm] \IC [/mm] nullstellenfrei ist. Das ist eine prima Sache, denn dann ist [mm] g:=\bruch{1}{h} [/mm] eine ganze Funktion, die auf [mm] \IC [/mm] beschränkt ist.
FRED
> Es ist doch nicht jede ganze Funktion so
> aufgebaut, oder?
>
> Kann uns da jemand helfen?
> Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Do 16.05.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
achso, ja klar, danke 
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