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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Sei G eine Menge, G [mm] \times [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] G, (a,b) -> ab eine assoziateive Verknüpfug, G [mm] \rightarrow [/mm] G, a -> [mm] a^{-1}, [/mm] eine Abbildung und e [mm] \in [/mm] G ein Element mit den Eigenschaften:
(i) e ist eine Linkseins, d.h [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G ea = a,
(ii) [mm] a^{-1} [/mm] ist ein Linksinverses von a, d.h. [mm] a^{-1}a=e.
[/mm]
Zu zeigen:
(a) [mm] a^{-1} [/mm] erfüllt auch a [mm] a^{-1} [/mm] = e (ist also auch Rechtsinvers)
(b) e erfüllt auch ae=a (ist also auch eine Rechtseins) |
Hallo,
ich glaub die Aufgaben sind nicht sonderlich schwer, aber irgendwie weiß ich nicht wie ich das zusammenbasteln muss. Bei Teil (a) soll man betrachten
[mm] (a^{-1})^{-1} a^{-1} [/mm] a [mm] a^{-1} [/mm] dann kann ich (ii) verwenden:
= [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] e [mm] a^{-1} [/mm] und dann (i)
= [mm] (a^{-1})^{-1} a^{-1} [/mm] wenn ich nun setze [mm] b:=a^{-1} [/mm] gilt weiter
= [mm] b^{-1} [/mm] b = e wieder nach (ii)
Hm, darf ich verwenden, dass [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] = a ??
... und wie muss ich bei Teil (b) vorgehen?
Viele Grüße,
Riley
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Hallo Riley,
> Sei G eine Menge, G [mm]\times[/mm] G [mm]\rightarrow[/mm] G, (a,b) -> ab
> eine assoziateive Verknüpfug, G [mm]\rightarrow[/mm] G, a -> [mm]a^{-1},[/mm]
> eine Abbildung und e [mm]\in[/mm] G ein Element mit den
> Eigenschaften:
> (i) e ist eine Linkseins, d.h [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G ea = a,
> (ii) [mm]a^{-1}[/mm] ist ein Linksinverses von a, d.h. [mm]a^{-1}a=e.[/mm]
> Zu zeigen:
> (a) [mm]a^{-1}[/mm] erfüllt auch a [mm]a^{-1}[/mm] = e (ist also auch
> Rechtsinvers)
> (b) e erfüllt auch ae=a (ist also auch eine Rechtseins)
> Hallo,
> ich glaub die Aufgaben sind nicht sonderlich schwer, aber
> irgendwie weiß ich nicht wie ich das zusammenbasteln muss.
> Bei Teil (a) soll man betrachten
>
> [mm](a^{-1})^{-1} a^{-1}[/mm] a [mm]a^{-1}[/mm] dann kann ich (ii)
> verwenden:
>
> = [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] e [mm]a^{-1}[/mm] und dann (i)
>
> = [mm](a^{-1})^{-1} a^{-1}[/mm] wenn ich nun setze [mm]b:=a^{-1}[/mm] gilt
> weiter
>
> = [mm]b^{-1}[/mm] b = e wieder nach (ii)
ja, das sieht gut aus!
>
> Hm, darf ich verwenden, dass [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] = a ??
Ich würde eher sagen: nein, aber du kannst ganz zu Beginn schreiben (du willst ja zeigen: [mm] $aa^{-1}=e$)
[/mm]
[mm] $aa^{-1}\overset{(i)}{=}eaa^{-1}\overset{(ii)}{=}\left(a^{-1}\right)^{-1}a^{-1}aa^{-1}$ [/mm] dann weiter im Text ...
>
> ... und wie muss ich bei Teil (b) vorgehen?
Nimm wieder die linke Seite her und forme mit (i), (ii) und (a) um:
[mm] $ae\overset{(ii)}{=}a\left(a^{-1}a\right)=\left(aa^{-1}\right)a\overset{(a)}{=}ea\overset{(i)}{=}a$
[/mm]
>
> Viele Grüße,
> Riley
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Schachuzipus,
ahja super, vielen Dank!
Viele Grüße,
Riley
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