Links/Rechtsseitiger Limes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Do 05.01.2006 | | Autor: | Fei |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für folgende Funktionen für alle Berührpunkte a des Definitionsbereiches die Limiten [mm] \limes_{n\rightarrow a} [/mm] f(x), [mm] \limes_{n\rightarrow a+} [/mm] f(x), [mm] \limes_{n\rightarrow a-} [/mm] f(x)
f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] x^2
[/mm]
(durch direktes Arbeiten mit den Grenzwerten ohne Verwendung der Aussage, dass das Produkt stetiger Funktionen stetig ist) |
Hi und frohes neues Jahr,
Hab eine Frage zu Aufgabe; es ist ja klar, dass [mm] \limes_{n\rightarrow a} x^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] ist, da [mm] x^2 [/mm] bekanntlich stetig ist. Aber was bedeutet "Direktes Arbeiten mit Grenzwerten"?
Ich kann doch nicht einfach sagen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow a} x^2 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow a+} x^2 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow a-} x^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] ist. Ich muss da wohl auf die Folgen zurückgreifen?!?!
Danke für die Hilfe, Fei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Bestimmen Sie für folgende Funktionen für alle Berührpunkte
> a des Definitionsbereiches die Limiten
> [mm]\limes_{n\rightarrow a}[/mm] f(x), [mm]\limes_{n\rightarrow a+}[/mm]
> f(x), [mm]\limes_{n\rightarrow a-}[/mm] f(x)
>
> f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^2[/mm]
> (durch direktes Arbeiten mit den Grenzwerten ohne
> Verwendung der Aussage, dass das Produkt stetiger
> Funktionen stetig ist)
> Hi und frohes neues Jahr,
>
> Hab eine Frage zu Aufgabe; es ist ja klar, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow a} x^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] ist, da [mm]x^2[/mm] bekanntlich
> stetig ist. Aber was bedeutet "Direktes Arbeiten mit
> Grenzwerten"?
> Ich kann doch nicht einfach sagen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow a} x^2[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow a+} x^2[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow a-} x^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] ist. Ich muss da wohl
> auf die Folgen zurückgreifen?!?!
Ja, musst du. Du nimmst irgendeine Folge [mm] $x_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] a$ (und [mm] $x_n [/mm] < a$ oder [mm] $x_n [/mm] > a$ je nach Bedarf :) ). Dann betrachtest du [mm] $|f(x_n) [/mm] - [mm] a^2|$, [/mm] gibst dir ein beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vor und findest irgendwie ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : (n [mm] \ge n_0 \Rightarrow |f(x_n) [/mm] - [mm] a^2| [/mm] < [mm] \varepsilon)$.
[/mm]
Als Hinweis: [mm] $x^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] = (x - a) (x + a)$, und [mm] $|x_n [/mm] + a|$ kannst du durch eine Konstante fuer alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] nach oben abschaetzen (warum?)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 05.01.2006 | | Autor: | Fei |
Hi, danke für deine Antwort.
Ich bin nun soweit gekommen, dass ich stehen hab:
[mm] |x_{n} [/mm] + [mm] a||x_{n}-a| [/mm] < [mm] |x_{n} [/mm] + a| [mm] \varepsilon \le [/mm] k [mm] \varepsilon
[/mm]
Die Begründung, dass [mm] |x_{n}+a| [/mm] einfach durch eine konstante ersetzt werden kann, würde ich dadurch erklären, dass [mm] x_{n} [/mm] unabhängig von a beliebig groß werden kann. Ist dies richtig/genug?
Was ich aber nicht verstehe, ist inwiefern nun die links/rechtsseitige Annäherung damit zu tun hat, ich mein, in diesem Beispiel ist [mm] x_{n} [/mm] > a bzw. [mm] x_{n} [/mm] < a ist es zwar egal, aber in anderen Funktionen ja vielleicht nicht, wo müsste ich das denn berücksichtigen?
Danke für die Hilfe,
Fei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hi, danke für deine Antwort.
>
> Ich bin nun soweit gekommen, dass ich stehen hab:
> [mm]|x_{n}[/mm] + [mm]a||x_{n}-a|[/mm] < [mm]|x_{n}[/mm] + a| [mm]\varepsilon \le[/mm] k
> [mm]\varepsilon[/mm]
Korrekt.
> Die Begründung, dass [mm]|x_{n}+a|[/mm] einfach durch eine
> konstante ersetzt werden kann, würde ich dadurch erklären,
> dass [mm]x_{n}[/mm] unabhängig von a beliebig groß werden kann. Ist
> dies richtig/genug?
Nein, wenn es beliebig gross werden kann dann gaeb es keine solche Konstante :)
Was du vielleicht meinst: Da [mm] $x_n \to [/mm] a$ ist [mm] $|x_n [/mm] - a| < 1$ fuer fast alle $n$, etwa fuer alle $n > [mm] n_0$, [/mm] womit [mm] $\sup_n |x_n [/mm] + a| [mm] \le \max\{ |x_1 + a|, ..., |x_{n_0} + a|, 2 |a| + 1 \} [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist.
> Was ich aber nicht verstehe, ist inwiefern nun die
> links/rechtsseitige Annäherung damit zu tun hat, ich mein,
> in diesem Beispiel ist [mm]x_{n}[/mm] > a bzw. [mm]x_{n}[/mm] < a ist es
> zwar egal, aber in anderen Funktionen ja vielleicht nicht,
> wo müsste ich das denn berücksichtigen?
Ja, bei dieser Funktion ist es ja gerade egal  Bei einer unstetigen Funktion koennte es wichtig sein von welcher Seite du dich annaeherst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 05.01.2006 | | Autor: | Fei |
| Aufgabe | (Bestimmen Sie die Limiten)
f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = exp(x) für x [mm] \not= [/mm] b, f(b) = c |
Danke erstmal für deine Hilfe Felix, die eine Aufgabe ist soweit klar!
Diese Funktion ist wohl nicht stetig im Punkt b.
Allerdings wüsste ich nicht, wie ich den [mm] \limes_{x\rightarrow b+} [/mm] bzw. den [mm] \limes_{x\rightarrow b-} [/mm] errechnen soll, wie soll denn das gehen?
Bei der vorhergehenden Aufgabe war es ja so, dass wir das Ergebnis wussten, aber hier?
Nochmals danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> (Bestimmen Sie die Limiten)
> f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] f(x) = exp(x) für x [mm]\not=[/mm] b, f(b) = c
> Danke erstmal für deine Hilfe Felix, die eine Aufgabe ist
> soweit klar!
>
> Diese Funktion ist wohl nicht stetig im Punkt b.
Es sei denn, es ist $c = [mm] \exp(b)$ [/mm]
> Allerdings wüsste ich nicht, wie ich den
> [mm]\limes_{x\rightarrow b+}[/mm] bzw. den [mm]\limes_{x\rightarrow b-}[/mm]
> errechnen soll, wie soll denn das gehen?
Genauso wie vorher Nur dass du jetzt [mm] $|\exp(x) [/mm] - [mm] \exp(b)|$ [/mm] abschaetzen musst (die beiden Limiten sind [mm] $\exp(b)$, [/mm] deshalb taucht das da auf).
Hinweis: [mm] |\exp(x) [/mm] - [mm] \exp(b)| [/mm] = [mm] |\exp(b) \exp(x-b) [/mm] - [mm] \exp(b)| [/mm] = [mm] \exp(b) |\exp(x [/mm] - b) - 1|$. Jetzt musst du nur noch eine Abschaetzung fuer [mm] $\exp(t)$ [/mm] fuer kleine $t$ finden; da gibt es einige.
> Bei der vorhergehenden Aufgabe war es ja so, dass wir das
> Ergebnis wussten, aber hier?
Hier weisst du es auch: Beim Limes wird die Funktion am Grenzpunkt selber nicht ausgewertet, und an allen anderen Stellen ist die Funktion gleich der [mm] $\exp$-Funktion, [/mm] und die wiederum ist stetig und somit kennst du den Grenzwert.
HTH & LG, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Fei |
Hi,
> Genauso wie vorher Nur dass du jetzt [mm]|\exp(x) - \exp(b)|[/mm]
> abschaetzen musst (die beiden Limiten sind [mm]\exp(b)[/mm], deshalb
> taucht das da auf).
Also wenn ich richtig verstehe, dann beweist du hiermit jetzt, dass der limes tatsächlich exp(b) ist. Aber zeigt du hiermit nicht einfach nur, dass der "normale" Limes gegen exp(b) strebt? Bzw. wo steckt in der Rechnung [mm] |\exp(x) [/mm] - [mm] \exp(b)| [/mm] die Links/Rechtsseitige Annäherung?
> Hinweis: [mm]|\exp(x)[/mm] - [mm]\exp(b)|[/mm] = [mm]|\exp(b) \exp(x-b)[/mm] -
>[mm]\exp(b)|[/mm] = [mm]\exp(b) |\exp(x[/mm]-b)-1|$. Jetzt musst du nur
> noch eine Abschaetzung fuer [mm]$\exp(t)$[/mm] fuer kleine $t$
> finden; da gibt es einige.
Hier müsste ich sich doch dann ergeben, dass dies kleiner als jedes Epsilon wird, oder? Nach Vorraussetzung ist doch [mm] x_{n}\to [/mm] b, also [mm] |x_{n}-b|< \varepsilon. [/mm] Aber wie wie kann ich das das denn einsetzen?
Danke nochmal vielmals, dass du mir so tatkräftig hilfst!
Fei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hi,
>
> > Genauso wie vorher Nur dass du jetzt [mm]|\exp(x) - \exp(b)|[/mm]
> > abschaetzen musst (die beiden Limiten sind [mm]\exp(b)[/mm], deshalb
> > taucht das da auf).
>
> Also wenn ich richtig verstehe, dann beweist du hiermit
> jetzt, dass der limes tatsächlich exp(b) ist. Aber zeigt du
> hiermit nicht einfach nur, dass der "normale" Limes gegen
> exp(b) strebt? Bzw. wo steckt in der Rechnung [mm]|\exp(x)[/mm] -
> [mm]\exp(b)|[/mm] die Links/Rechtsseitige Annäherung?
Nun, wenn du wieder die Bedingungen [mm] $x_n [/mm] > 0$, [mm] $x_n [/mm] < 0$ an die Folgen stellst, zeigst du es auch fuer den links- und rechtsseitigen. Allgemein ist es so: Wenn der beidseitige Limes existiert, dann auch der links- und der rechtsseitige und alle haben den gleichen Wert.
Beim Limes gilt immer: die betrachteten Folgen nehmen den Wert $b$ selber nicht an! (Deswegen koennte man hier auch stumpf damit argumentieren, dass die Funktion ueberall sonst gleich [mm] $\exp(x)$ [/mm] ist und man somit die Stetigkeit von [mm] $\exp$ [/mm] ausnutzen kann, um [mm] $\lim_{x\to b} [/mm] f(x) = [mm] \exp(x)$ [/mm] zu folgern.)
> > Hinweis: [mm]|\exp(x)[/mm] - [mm]\exp(b)|[/mm] = [mm]|\exp(b) \exp(x-b)[/mm] -
> >[mm]\exp(b)|[/mm] = [mm]\exp(b) |\exp(x[/mm]-b)-1|$. Jetzt musst du nur
> > noch eine Abschaetzung fuer [mm]$\exp(t)$[/mm] fuer kleine [mm]t[/mm]
> > finden; da gibt es einige.
>
> Hier müsste ich sich doch dann ergeben, dass dies kleiner
> als jedes Epsilon wird, oder? Nach Vorraussetzung ist doch
> [mm]x_{n}\to[/mm] b, also [mm]|x_{n}-b|< \varepsilon[/mm]
... wenn $n$ gross genug wird.
> Aber wie wie kann ich das das denn einsetzen?
Nun, wenn $t$ klein genug ist (irgendwo zwischen $0$ und einem kleinen Wert [mm] $\delta [/mm] > 0$), dann gilt [mm] $\exp(t) \le [/mm] 1 + 2 t$. Und wenn $t [mm] \le [/mm] 0$ ist, gilt immer $1 - 2 t [mm] \le [/mm] 1 - t [mm] \le \exp(t)$. [/mm] Wenn du also dafuer sorgst, dass [mm] $|x_{n} [/mm] - b| < [mm] \min\{ \varepsilon, \delta \}$ [/mm] ist, dann gilt $1 - 2 t [mm] \le \exp(t) \le [/mm] 1 + 2 t$.
Hilt dir das weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Fei |
Hi,
Ich versteh jetzt leider nicht, was das t ist und woher es kommt. Inwiefern spielt das in der Abschätzung von
[mm] \exp(x)|\exp(x-b)-1|
[/mm]
eine Rolle?
Danke,
Fei
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hi,
>
> Ich versteh jetzt leider nicht, was das t ist und woher es
> kommt. Inwiefern spielt das in der Abschätzung von
> [mm]\exp(x)|\exp(x-b)-1|[/mm]
> eine Rolle?
$t$ ist mit Absicht ein Buchstabe, der da nicht vorkommt: Ich wollte dir nur die Abschaetzung angeben, ohne gleich zu verraten was du da fuer $t$ einsetzen sollst
LG Felix
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