Linienintegral Grenzen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Fr 05.01.2007 | | Autor: | praezi |
| Aufgabe | Berechnen Sie das nachfolgende Linienintegral längs des Vebindungsweges C: x=t, [mm] y=\wurzel{t} [/mm] der die beiden Punkte (0,0) und (4,2) verbindet.
[mm] \integral_{C}^{}{y^2 dx + \wurzel{x} dx} [/mm] |
Hallo..!!
Ich werde aus dem Papula Band 3 einfach nicht schlau. Ich weis einfach nicht, was ich beim lösen des Integrals für die Grenzen einsetzen soll. Vielleicht kann mir mal jemand einen Denkanstoss geben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
zur Berechnung eines Kurven(=Linien)-Integrals ist zunächst eine Parametrisierung der Kurve zu wählen. Nun ist in der Aufgabe schon eine solch vorgeschlagen, nämlich
$$
[mm] (x(t),y(t))=(t,\sqrt{t}).
[/mm]
$$
Also (x(t),y(t))=(0,0) genau dann, wenn $t=0$ und $(x(t),y(t))=(4,2)$, falls $t=4$. Wenn Du also diese Parametrisierung wählst sind die Grenzen für das entstehende Integral dann $0$ und $4$.
Gruß,
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 05.01.2007 | | Autor: | praezi |
Die Grenzen entsprechen ja den Koordinaten auf der X-Achse, ist das denn generell der Fal..??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
das ist nicht immer der Fall . Die Parametrisierung in der Aufgabe ist nur "zufällig" so gewählt, dass x(t)=t ist. Man könnte auch die Parametrisierung x(t)=3t und
[mm] y(t)=\sqrt{x(t)} [/mm] wählen, d.h. die Kurve mit dreifacher Geschwindigkeit durchlaufen. Dann sind die Integrationsgrenzen eben t=0 und t=4/3. Diese veränderten Integrationsgrenzen heben sich dann mit dem ebenfalls veränderten Integranden (dx wird zu 3dt) gegenseitig weg. Allgemeiner sollte bei der Einführung von Kurvenintegralen erstmal irgendwo gezeigt werden, dass sie unabhängig von der gewählten Parametrisierung sind. Das ist eine Konsequenz der Substitutionsregel. Probiere das doch einmal mit der Parametrisierung deiner Kurve durch [mm] (x(t),y(t))=(t^2,t), t\in[0,2].
[/mm]
Gruss, Volker.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Fr 05.01.2007 | | Autor: | praezi |
Hallo Volker..!!
Erst einmal danke, dass du dir die Zeit nimmst. Allerdings ist es so, dass ich die Hälfte der Mathevorlesung habe ausfallen lassen müssen, da es in unsere Familie zwei Trauerfälle gab. Ich habe also von all dem nichts mitbekommen und weis grade überhaupt nicht was du meinst. Ich bin bei der Aufgabe soweit gekommen, dass ich das dx und das dy ausgerechnet habe, weiter nich. Vielleicht könntest du ja mal ganz vereinzelt die Schritte beshreiben, wie ich zu den Grenzen komme, wäre super nett...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
na eigentlich bist Du fertig, wenn Du "dx" und die Grenzen für die Parametrisierung $(x(t),y(t)) [mm] =(t,\sqrt{t})$ [/mm] ausgerechnet hast: Im Integranden ersetzt Du $x$ durch $x(t)=t$ und $y$ durch [mm] $y(t)=\sqrt{t}$, [/mm] $dx$ durch $dt$ und schreibst die Grenzen dran. Es kommt Integral
$$
[mm] \int_{C}(y^2 +x)dx=\int_0^4 y(t)^2 [/mm] + x(t) [mm] dt=\int_0^4 t^2 +\sqrt{t} [/mm] dt
$$
hersaus, das recht leicht zu berechnen ist. Volker
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