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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 So 07.12.2014 | | Autor: | adam29 |
| Aufgabe | Bestimmen sie wie viele Nullstellen die Funktion hat.
[mm] f(x)=x^5-3x^2+3 [/mm] |
Meine Frage ist eigentlich wie ich von so einer Funktion zu so einer Funktion komme: [mm] f(x)=(x-a)^2*(x-b)^3*(x-c)? [/mm]
Wie mache ich das bei dieser Aufgabe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen sie wie viele Nullstellen die Funktion hat.
> [mm]f(x)=x^5-3x^2+3[/mm]
> Meine Frage ist eigentlich wie ich von so einer Funktion
> zu so einer Funktion komme: [mm]f(x)=(x-a)^2*(x-b)^3*(x-c)?[/mm]
> Wie mache ich das bei dieser Aufgabe?
>
Normalerweise indem du zunächst die Nullstellen berechnest und diese in Linearfaktorform aufschreibst.
In deinem Fall ist das nicht so einfach da die Funktion keine ganzzahlige Nullstelle hat.
Kennst du zufälligerweise das Newton-Verfahren?
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 07.12.2014 | | Autor: | adam29 |
Danke,
ich hatte das vergessen das man das mit den Nullstellen macht.
Nein diese Newton gestz kenne ich nicht und ich glaube es würde mich auch nur vewirren.
Die Frage ist eigentlich jetzt geklärt.
Nochmals Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 07.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen sie wie viele Nullstellen die Funktion hat.
> [mm]f(x)=x^5-3x^2+3[/mm]
> Meine Frage ist eigentlich wie ich von so einer Funktion
> zu so einer Funktion komme: [mm]f(x)=(x-a)^2*(x-b)^3*(x-c)?[/mm]
Gar nicht. Dieser Term würde zu einer ganzrationalen Funktion sechsten Grades passen.
> Wie mache ich das bei dieser Aufgabe?
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Das ist nicht ganz ehrlich.
http://www.onlinemathe.de/forum/Nullstellen-ganzrationaler-Funktionen-88
Trotzdem ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 07.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie wie viele Nullstellen die Funktion hat.
> [mm]f(x)=x^5-3x^2+3[/mm]
> Meine Frage ist eigentlich wie ich von so einer Funktion
> zu so einer Funktion komme: [mm]f(x)=(x-a)^2*(x-b)^3*(x-c)?[/mm]
gar nicht, Du kannst sie höchstens so schreiben:
[mm] $f(x)=(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)*(x-x_4)*(x-x_5)\,,$
[/mm]
die Funktion
[mm] $g(x):=(x-a)^2*(x-b)^3*(x-c)$
[/mm]
wäre doch kein Polynom vom Grad 5!
Zu der Aufgabe:
Offensichtlich ist oben
[mm] $\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\pm \infty\,.$
[/mm]
Außerdem ist [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar mit
[mm] $f\,'(x)=5x^4-6x=x*(5x^3-6)\,$
[/mm]
und sogar nochmal diff'bar (was bei Polynomfunktionen wenig wundert) mit
[mm] $f\,''(x)=20x^3-6\,.$
[/mm]
Rechne nach: Die Funktion hat an der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] ein lokales Maximum, dann
überlege Dir vielleicht auch noch, wo sie einen Wendepunkt hat (dritte Ableitung
könnte helfen), und rechne nochmal nach, dass für [mm] $\tilde{x}\,$ [/mm] mit
[mm] $\tilde{x}=5*\tilde{x}^3-6=0\,$
[/mm]
die Funktion ein lokales Minimum hat.
Begründe: Links des lokalen Maximums ist sie überall streng steigend, sie hat
dort auch genau eine Nullstelle (warum).
Zwischen dem lokalen Maximum und dem lokalen Minimum ist sie streng fallend,
der Graph bleibt aber oberhalb der x-Achse, und rechts des lokalen Minimums
ist sie wieder streng steigend.
Damit kommst Du zu dem Ergebnis: Es gibt genau eine Nullstelle!
Es ist hier NIRGENDS verlangt, diese genau auszurechnen.
Um meine Argumente besser zu verstehen: Nimm' Dir irgendeinen
Funktionenplotter und plotte Dir erstmal den Graphen der Funktion,
am besten schränkst Du dabei [mm] $x\,$ [/mm] ein auf den Bereich [mm] $[-1,5;\; [/mm] 1,5]$.
Das, was wir sehen, begründen wir, indem wir es nachrechnen: Wenn die
Ableitung auf einem Intervall durchweg $> [mm] 0\,$ [/mm] ist, dann wächst die Funktion
dort streng...
Außerdem: Polynomfunktionen sind stetig. Etc. pp.!
Gruß,
Marcel
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> Bestimmen sie wie viele Nullstellen die Funktion hat.
> [mm]f(x)=x^5-3x^2+3[/mm]
> Meine Frage ist eigentlich wie ich von so einer Funktion
> zu so einer Funktion komme: [mm]f(x)=(x-a)^2*(x-b)^3*(x-c)?[/mm]
> Wie mache ich das bei dieser Aufgabe?
Hallo,
beachte einfach, dass es ein ganz wesentlicher Unterschied
ist, ob die Aufgabe lautet:
"Wie viele Nullstellen hat die Funktion ?"
oder aber:
"Bestimme alle Nullstellen der Funktion und zähle,
wie viele es sind !"
Wie du vorgehen kannst, um in diesem Fall die erste
(und einfachere) Frage zu beantworten, hat Marcel
schon erläutert.
LG , Al-Chwarizmi
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