Linearkombination von Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Linear unabhängige Vektoren können Basisvektoren eines Vektorraumes sein. Bilden die folgenden eine Basis?
[mm] \vec{a} [/mm] = 5 [mm] \vec{ex} [/mm] - 3 [mm] \vec{ey} [/mm] - 2 [mm] \vec{ez}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = 2 [mm] \vec{ex} [/mm] + 2 [mm] \vec{ey} [/mm] - 3 [mm] \vec{ez}
[/mm]
[mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \vec{ex} [/mm] - 4 [mm] \vec{ey} [/mm] + 2 [mm] \vec{ez}
[/mm]
Wenn ja, stellen Sie [mm] \vec{p} [/mm] = 2 [mm] \vec{ex} [/mm] + 4 [mm] \vec{ey} [/mm] - 3 [mm] \vec{ez} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] dar. |
Hallo,
Meiner Meinung nach sind die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] linear unabhängig, bilden also eine Basis. Ich habe einfach jede Kombination der Vektoren ausprobiert, z.b. [mm] \vec{a} [/mm] = x * [mm] \vec{b}; \vec{a} [/mm] = x * [mm] \vec{c} [/mm] etc. und kein x gefunden, welches das Gleichungssystem erfüllen würde also sind sie lin. unabhängig. Gibt es eine andere Möglichkeit dieses zu prüfen?
Ich weiß nun leider nicht, wie ich diese als Linearkombination vom Vektor [mm] \vec{p} [/mm] darstellen kann. Wie wird dieses Rechnerisch gelöst?
Als Ergebnis kommt: [mm] \vec{p} [/mm] = -14 * [mm] \vec{a} [/mm] + 25 * [mm] \vec{b} [/mm] + 22 * [mm] \vec{c} [/mm] heraus, falls ihr eure Lösung auf Korrektheit prüfen wollt. Lösung habe ich nur den Weg weiß ich nicht...
Danke und Gruß,
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Di 15.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Thomas!
> Linear unabhängige Vektoren können Basisvektoren eines
> Vektorraumes sein. Bilden die folgenden eine Basis?
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = 5 [mm]\vec{ex}[/mm] - 3 [mm]\vec{ey}[/mm] - 2 [mm]\vec{ez}[/mm]
> [mm]\vec{b}[/mm] = 2 [mm]\vec{ex}[/mm] + 2 [mm]\vec{ey}[/mm] - 3 [mm]\vec{ez}[/mm]
> [mm]\vec{c}[/mm] = [mm]\vec{ex}[/mm] - 4 [mm]\vec{ey}[/mm] + 2 [mm]\vec{ez}[/mm]
>
> Wenn ja, stellen Sie [mm]\vec{p}[/mm] = 2 [mm]\vec{ex}[/mm] + 4 [mm]\vec{ey}[/mm] - 3
> [mm]\vec{ez}[/mm] als Linearkombination von [mm]\vec{a}, \vec{b}[/mm] und
> [mm]\vec{c}[/mm] dar.
> Meiner Meinung nach sind die Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}[/mm] und
> [mm]\vec{c}[/mm] linear unabhängig, bilden also eine Basis. Ich habe
> einfach jede Kombination der Vektoren ausprobiert, z.b.
> [mm]\vec{a}[/mm] = x * [mm]\vec{b}; \vec{a}[/mm] = x * [mm]\vec{c}[/mm] etc. und kein
> x gefunden, welches das Gleichungssystem erfüllen würde
> also sind sie lin. unabhängig. Gibt es eine andere
> Möglichkeit dieses zu prüfen?
Das muß man anders angehen. Du hast anscheinend nur geprüft, ob einer dieser Vektoren ein Vielfaches eines anderen ist. Bei linearer Abhängigkeit ist aber einer eine Linearkombination der anderen, das ist ein Unterschied.
Wenn du die Vektoren schulmäßig hinschreibst, also
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -3 \\ -2}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -3}
[/mm]
[mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 2}
[/mm]
dann mußt du prüfen, ob es [mm] \lambda, \mu, \nu, [/mm] nicht alle 0, gibt mit
[mm] \lambda*\vektor{5 \\ -3 \\ -2} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{2 \\ 2 \\ -3} [/mm] + [mm] \nu*\vektor{1 \\ -4 \\ 2} [/mm] = 0
Dann sind sie lin. abh.
Das ergibt ein 3x3-Gleichungssystem, das du lösen mußt.
Die Darstellung von [mm] \vec{p} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -3} [/mm] kannst du dann ebenfalls als lineares GLS hinschreiben.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke für die rasche Antwort!
Wäre die Lösung des 3x3 Gleichungssystems so richtig? ![[]](/images/popup.gif) Klick
Wenn ich jetzt weiter auflöse kommt bei jedem x, y, z eine 0 hin um die Gleichung zu erfüllen, daraus folgere ich lin. unabhängigkeit. Richtig?
In Teil 2 würde ich das gleiche Gleichungssystem benutzen, nur statt:
5 + 2 + 1 = 0
-3 + 2 - 4 = 0
-2 - 3 + 2 = 0
eben:
5 + 2 + 1 = 2
-3 + 2 - 4 = 4
-2 - 3 + 2 = -3
und auflösen, richtig?
Gruß,
Thomas
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Ob du das 3x3-System richtig gelöst hast, weiß ich jetzt nicht, aber den Weg ist auf jeden Fall korrekt
Vergiß ganz zum Schluß nicht, [mm] $\vec p=\alpha \vec [/mm] a + [mm] \beta \vec [/mm] b [mm] +\gamma \vec [/mm] c$ hinzuschreiben, mit den Koeffizienten aus deiner lezten Rechnung!
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