Linearität in Q < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | | Seien V und W [mm] \IQ-Vektorräume [/mm] und F : V [mm] \to [/mm] W eine Abbildung. Entscheiden Sie (wie immer mit Beweis!), ob die folgende Bahauptung stimmt: Falls für alle v,w [mm] \in [/mm] V gilt F(v+w) = F(v) + F(w), dann ist F linear. |
Aus der Aufgabenstellung geht für mich nicht klar heraus, ob nun [mm] \gdw [/mm] oder nur [mm] \Rightarrow [/mm] zeigen soll. Aber okay, [mm] "\Leftarrow" [/mm] könnte ja gar nicht trivialer sein, da das ja aus der Definition von Linearität hervorgeht. Bleibt in jedem Fall also die Hinrichtung.
Zu zeigen ist also, dass es wohl in [mm] \IQ [/mm] wohlz zur Linearität reicht, wenn F(v+w) = F(v) + F(w) gilt.
Ich würde nun sagen, dass in [mm] \IQ [/mm] jede Summe aus zwei Elementen v+w auch als Skalarmultiplikation von [mm] \lambdav, \lambda \in \IQ [/mm] darstellen lässt und umgekehrt. Ist dem so oder bin ich auf dem Holzweg? Bitte um Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mi 10.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Seien V und W [mm]\IQ-Vektorräume[/mm] und F : V [mm]\to[/mm] W eine
> Abbildung. Entscheiden Sie (wie immer mit Beweis!), ob die
> folgende Bahauptung stimmt: Falls für alle v,w [mm]\in[/mm] V gilt
> F(v+w) = F(v) + F(w), dann ist F linear.
> Aus der Aufgabenstellung geht für mich nicht klar heraus,
> ob nun [mm]\gdw[/mm] oder nur [mm]\Rightarrow[/mm] zeigen soll. Aber okay,
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] könnte ja gar nicht trivialer sein, da das ja
> aus der Definition von Linearität hervorgeht. Bleibt in
> jedem Fall also die Hinrichtung.
Richtig.
> Zu zeigen ist also, dass es wohl in [mm]\IQ[/mm] wohlz zur
> Linearität reicht, wenn F(v+w) = F(v) + F(w) gilt.
Richtig.
> Ich würde nun sagen, dass in [mm]\IQ[/mm] jede Summe aus zwei
> Elementen v+w auch als Skalarmultiplikation von [mm]\lambdav, \lambda \in \IQ[/mm]
> darstellen lässt und umgekehrt. Ist dem so oder bin ich auf
> dem Holzweg? Bitte um Hilfe.
Naja eigentlich anders rum: du willst den Fall der skalaren Multiplikation irgendwie auf Addition zurückführen. Das geht so:
1) $f(nv)=nf(v)$ für alle [mm] $n\in\IN, v\in [/mm] V$
2) $f(-v)=-f(v)$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$
3) Aus 1) und 2) folgt f(zv)=zf(v) für alle [mm] $z\in\IZ, v\in [/mm] V$
4) [mm] $f\left(\frac{1}{n}*v\right)=\frac{1}{n}*f(v)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
5) Aus 3) und 4) folgt [mm] $f\left(\frac{p}{q}*v\right)=\frac{p}{q}*f(v)$ [/mm] für alle [mm] $p\in\IZ, q\in\IN, v\in [/mm] V$ - fertig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
Vielen Dank für die schnelle Antwort, ging ja echt fix.
Ich denke aber, dass ich die Bahauptungen, die du in deinen Punkten aufstellst eben zu zeigen sind, dass diese gelten und nicht als Vorraussetzung anzusehen sind. Schließlich will ich ja beweisen, dass die Skalarmultiplikation auch gilt, du setzt sie aber voraus.
Oder kann ich etwa voraussetzen, dass es bei den natürlichen und ganzen Zahlen funktioniert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 10.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich denke aber, dass ich die Bahauptungen, die du in deinen
> Punkten aufstellst eben zu zeigen sind, dass diese gelten
> und nicht als Vorraussetzung anzusehen sind. Schließlich
> will ich ja beweisen, dass die Skalarmultiplikation auch
> gilt, du setzt sie aber voraus.
Nein, es war genau so gemeint wie du gesagt hast: Zeige dass meine Behauptungen 1)-5) gelten, dann bist du am Ziel.
Ich habe dir nur freundlicherweise gezeigt wie man das große Problem (zeigen der Homogenität) in mehrere kleine Probleme zerlegen kann, die du alle leicht zeigen kannst.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
Nun stehe ich aber vor dem gleichen Problem, nur in [mm] \IN.
[/mm]
Ich brauche einen weiteren Denkanstoß 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mi 10.06.2009 | | Autor: | pelzig |
2=1+1.
|
|
|
| |
|
"2=1+1"... was soll das heißen? wahrscheinlich ist der Beweis zu Schritt 1-4 wirklich einfach,aber wie macht man das denn??
|
|
|
| |
|
inwieweit haben wir denn hier die skalare Multiplikation auf die addition zurückgeführt??das war doch der lösungsansatz des fragenstellers
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 11.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn [mm] v\in [/mm] V, dann auch n*v und f(v)+f(v)=f(v+v)=f(2v) nach Vors. ebenso f(nv+=n*f(v)
gruss leduart
|
|
|
| |
|
> "2=1+1"... was soll das heißen? wahrscheinlich ist der
> Beweis zu Schritt 1-4 wirklich einfach,aber wie macht man
> das denn??
Hallo,
das ist ein Hinweis darauf, wie man aus [mm] n\vec{v} [/mm] eine Summe machen kann.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
