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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:12 So 09.11.2014 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] $$Y_i [/mm] = [mm] \hat{a} [/mm] + [mm] \hat{b}x_i \quad Y_i \sim N(a+bx_i, \sigma^2)$$
[/mm]
[mm] $\hat{a} [/mm] = [mm] \overline{Y}-\hat{b}\cdot\bar{x}\\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n}{Y_i}-\bigg(\frac{1}{nS^2_x}\cdot\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})\cdot Y_i}\bigg)\cdot\bar{x}\\
[/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^{n}{\frac{Y_i}{n}}-\sum_{i=1}^{n}{\frac{(x_i-\bar{x})\cdot Y_i\cdot\bar{x}}{nS^2_x}}\\
[/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^{n}{\frac{Y_i}{n}-\frac{(x_i-\bar{x})\cdot Y_i\cdot\bar{x}}{nS^2_x}}\\
[/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^{n}{\bigg(\frac{1}{n}-\frac{(x_i-\bar{x})\cdot\bar{x}}{nS^2_x}\bigg)\cdot Y_i}$ [/mm] |
Ich versuche gerade die Varianz des Schätzers [mm] $\hat{a}$ [/mm] zu bestimmen, finde aber den Fehler in meiner Rechnung nicht :/
Unter Verwendung von $X [mm] \sim \N(\mu, \sigma^2) \quad &\Rightarrow \quad [/mm] aX [mm] \sim \N(a\mu, a^2\sigma^2)$ [/mm] erhalte ich:
[mm] Var(\hat{a}) [/mm] = [mm] \sigma^2\cdot\sum_{i=1}^{n}{\bigg(\frac{1}{n}-\frac{(x_i-\bar{x})\cdot\bar{x}}{nS^2_x}\bigg)^2}\\
[/mm]
= [mm] \sigma^2\cdot\sum_{i=1}^{n}{\bigg(\frac{1}{n^2}-2\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{(x_i-\bar{x})\cdot\bar{x}}{nS^2_x} + \frac{(x_i-\bar{x})^2\cdot\bar{x}^2}{n^2S^4_x}\bigg)}\\
[/mm]
= [mm] \sigma^2\cdot\bigg(\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{n^2}}-2\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{\bar{x}}{nS^2_x}\cdot\underbrace{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}}_{=0} [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^{n}{\frac{(x_i-\bar{x})^2\cdot\bar{x}^2}{n^2S^4_x}}\bigg)\\
[/mm]
= [mm] \sigma^2\cdot\bigg(n\cdot\frac{1}{n^2} [/mm] + [mm] \frac{\bar{x}^2}{n^2S^4_x}\cdot\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})^2}\bigg)\\
[/mm]
= [mm] \sigma^2\cdot\bigg(\frac{1}{n} [/mm] + [mm] \frac{\bar{x}^2}{n^2S^4_x}\cdot n\cdot S^2_x\bigg)\\
[/mm]
= [mm] \sigma^2\cdot\bigg(\frac{1}{n} [/mm] + [mm] \frac{\bar{x}^2}{nS^2_x}\bigg)\\
[/mm]
= [mm] \sigma^2\cdot\bigg(\frac{S^2_x+\bar{x}^2}{nS^2_x}\bigg)$
[/mm]
es soll aber [mm] $\frac{\overline{x^2}}{nS^2_x}\cdot\sigma^2$ [/mm] rauskommen...
Update: Der Fehler bestand darin, zu vermuten, es gäbe einen Fehler. Die Rechnung ist richtig.
$= [mm] \sigma^2\cdot\bigg(\frac{\overline{x^2}-\bar{x}^2+\bar{x}^2}{nS^2_x}\bigg)\\
[/mm]
= [mm] \sigma^2\cdot\bigg(\frac{\overline{x^2}}{nS^2_x}\bigg)$[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 17.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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