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Aufgabe:
Für welche Parameter [mm]\lambda[/mm], [mm]\mu[/mm] [mm]\in[/mm][mm]\IR[/mm] ist das reelle lineare Gleichungssystem
x + [mm]\lambda[/mm]y = [mm]\mu[/mm]
x - y = 1
lösbar?
Lösungsgweg:
[mm]\pmat{1 & \lambda\\
1 & -1}[/mm] * [mm]\pmat{x \\
y}[/mm] = [mm]\pmat{\mu \\
1}[/mm]
[mm]\to[/mm] [mm]\left( \begin {array}{cc|c} 1&\lambda&\mu\\
1&-1&1\end {array} \right) [/mm] [mm]\to[/mm] 1. Zeile von 2. Zeile abziehen [mm]\left( \begin {array}{cc|c} 1&\lambda&\mu\\
0&-1 -\lambda&1 - \mu\end {array} \right) [/mm]
1. Fall: [mm]\lambda[/mm]= -1 und [mm]\mu[/mm] = 1. Nicht invertierbar, da Hauptdiagonale nicht [mm]\neq[/mm] 0. Rang A = 1.
2. Fall [mm]\lambda[/mm] [mm]\neq[/mm] -1 und [mm]\mu[/mm] [mm]\neq[/mm] 1. Invertierbar. Rang A = 2.
Also ist das Gleichungssystem für [mm]\lambda[/mm] [mm]\neq[/mm] -1 und [mm]\mu[/mm] [mm]\neq[/mm] 1 lösbar.
Stimmt das?
Danke schonmal im Voraus!
Gruß Ptolemaios
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Hallo Ptolemaios,
> Aufgabe:
> Für welche Parameter [mm]\lambda[/mm], [mm]\mu[/mm] [mm]\in[/mm][mm]\IR[/mm] ist das reelle
> lineare Gleichungssystem
>
> x + [mm]\lambda[/mm]y = [mm]\mu[/mm]
> x - y = 1
>
> lösbar?
>
>
>
> Lösungsgweg:
>
> [mm]\pmat{1 & \lambda\\
1 & -1}[/mm] * [mm]\pmat{x \\
y}[/mm] = [mm]\pmat{\mu \\
1}[/mm]
>
> [mm]\to[/mm] [mm]\left( \begin {array}{cc|c} 1&\lambda&\mu\\
1&-1&1\end {array} \right)[/mm]
> [mm]\to[/mm] 1. Zeile von 2. Zeile abziehen [mm]\left( \begin {array}{cc|c} 1&\lambda&\mu\\
0&-1 -\lambda&1 - \mu\end {array} \right)[/mm]
>
>
> 1. Fall: [mm]\lambda[/mm]= -1 und [mm]\mu[/mm] = 1. Nicht invertierbar, da
> Hauptdiagonale nicht [mm]\neq[/mm] 0. Rang A = 1.
>
Das Gleichungssystem ist für diesen Fall ... .
>
> 2. Fall [mm]\lambda[/mm] [mm]\neq[/mm] -1 und [mm]\mu[/mm] [mm]\neq[/mm] 1. Invertierbar. Rang
> A = 2.
>
Die Invertierbarkeit hängt doch nur von dem Parameter [mm]\lambda[/mm] ab.
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> Also ist das Gleichungssystem für [mm]\lambda[/mm] [mm]\neq[/mm] -1 und [mm]\mu[/mm]
> [mm]\neq[/mm] 1 lösbar.
> Stimmt das?
>
Es stimmt, daß das Gleichungssystem für [mm]\lambda \not=-1[/mm] lösbar ist.
Dann ist es auch unabhängig von [mm]\mu[/mm] lösbar.
>
>
> Danke schonmal im Voraus!
> Gruß Ptolemaios
>
Gruss
MathePower
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Hi & danke für Deine Hilfe,
wo sieht man denn, dass das Gleichungssystem von [mm]\mu[/mm] unabhängig ist?
Gruß Ptolemaios
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Hallo Ptolemaios,
> Hi & danke für Deine Hilfe,
>
> wo sieht man denn, dass das Gleichungssystem von [mm]\mu[/mm]
> unabhängig ist?
>
Die Invertierbarkeit ist von [mm]\mu[/mm] unabhängig.
Das siehst Du an der Koeffizientenmatrix:
[mm]\pmat{1 & \lambda \\ 1&-1}[/mm]
> Gruß Ptolemaios
>
Gruss
MathePower
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Okay, also weil dort [mm]\mu[/mm] nicht auftaucht ist das Gleichungssystem von [mm]\mu[/mm] unabhängig lösbar?
Gruß Ptolemaios
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Hallo Ptolemaios,
> Okay, also weil dort [mm]\mu[/mm] nicht auftaucht ist das
> Gleichungssystem von [mm]\mu[/mm] unabhängig lösbar?
>
Ja, aber nur für den Fall [mm]\lambda \not=-1[/mm].
> Gruß Ptolemaios
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Di 17.01.2012 | | Autor: | Ptolemaios |
danke 
Gruß Ptolemaios
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