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| Aufgabe | Gegeben ist folgendes Gleichungssystem:
A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 \\
2 & 1 & -6 \\
a & -2 & 3
\end{pmatrix}
[/mm]
b = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
a) Für welche Werte von a gibt es eine eindeutige Lösung?
b) Gibt es einen Wert für a, für den das Glg.-Sys keine Lösung hat? |
Hallo!
Ich bin mir hierbei leider nicht ganz sicher.
ad a) Also zuerstmal die Determinante von A berechnen, was soviel ergibt, dass die Determinante von A Null ist wenn a = -1 (und somit ist rg(A) < 3)
Habe das auch mit Maxima(Matheprogramm) nachgerechnet und es stimmt.
Es gibt eine eindeutige Lösung für alle Werte ungleich -1.
ad b) Wenn ich jetzt z.B. für a = 1 einsetzte, dann ist der erste Vektor der Matrix und b linear abhängig. Der Rang von A ist aber trotzdem drei und der Rang von A|b ist auch drei? Also ist hier auch die Lösung -1 ?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Di 16.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
zu a)
was heisst den, wen detA=0?
dazu kannst du dir auch die erste und letzte zeile anschauen
wen du bei der betrachtung vek.b mit einbeziehst, kannst du auch direkt b) lössen.
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detA = 0 bedeutet, dass der Rang ungleich drei ist!?
Also ein homogenes Gleichungssystem mit detA ungleich Null hat eine eindeutige Lösung.
Hm aber wie ich den b Vektor miteinbeziehen soll, weiß ich noch nicht. Vielleicht einen Spaltenvektor von A mit b vertauschen und dann überprüfen bei welchem a die Determinante Null ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Di 16.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
du denkst zu kompliziert.
schau dir mal ein gauss mit (A|b) an und setzt a = -1
und versuch ihn auf obere dreieckgestallt zu bringen.
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Das ergibt einen Widerspruch. Also ist für a = -1 das Gleichungssystem nicht lösbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Di 16.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
genau. deswegen ist detA=0 für a=-1
daher gibt es für a=-1 keine lösung
da [mm] 0\not=2 [/mm] ist
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Achja jetzt ist es mir klar, also wenn detA = 0 dann hat das Gleichungssystem keine oder eine mehrdeutige Lösung, also muss ich für den Wert a = -1 untersuchen welche der beiden Lösbarkeitsarten zutrifft.
Oder ich sehe, dass der Vektor b zu allen Vektoren der Matrix A für den Wert a= -1 linear unabhängig ist, somit ist rg(A) = 2 < rg(A|b) = 3 -> unlösbar.
Danke für die Hilfe!
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