Lineares GLS lösen- Fehler < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Yuppie |
| Aufgabe | Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
x + y ! 3z = 5
2x ! 4y ! 11z = 1
x + 13y ! 17z = 3
Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, die dritte von der zweiten und
ausserdem die erste von der dritten, so erhält man das System
-x + 5 y + 8z = 4
x - 17y + 6z = -2
12y - 14z = -2
Das Tripel (9 ; 1; 1) löst das zweite Gleichungssystem, aber keine einzige Gleichung aus
dem ersten, obwohl zur Umformung doch eigentlich nur Elementarumformungen verwendet wurden. Ist dies ein Gegenbeispiel? Wo liegt der Fehler? |
Ich finde absolut nicht den richtigen Ansatz. Ich habe das System durch gelöst und kam auf die Lösungsmenge:
x= -29/6
y= -1/6
z=0
aber was bringt mir das oder verstehe ich Elementarumformung falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Calli |
> Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
>
> x + y ! 3z = 5
> 2x ! 4y ! 11z = 1
> x + 13y ! 17z = 3
>
Aha, eine ganz neue mathematische Notation !
(Was man so alles dazu lernen kann, sagenhaft !)
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 18.04.2010 | | Autor: | Yuppie |
| Aufgabe | > Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
>
x + y - 3z = 5
2x - 4y - 11z = 1
x + 13y - 17z = 3
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Sorry für den Fehler... ! gibt es natürlich nicht dafür aber ein - bitte einsetzen
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> > Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
> >
> x + y - 3z = 5
> 2x - 4y - 11z = 1
> x + 13y - 17z = 3
Hallo,
nun wäre es nütlich zu wissen, wie Du GSe normalerweise löst.
Es gibt je mehrere funktionierende Vorgehensweisen.
Du kannst z.B. die erste Gleichung nach x auflösen, dieses x in die zweite und dritte einsetzen.
Du behältst ein GS, welches nur noch y und z enthält, und welches Du nun löst.
"Rückwärts" einsetzen liefert dann die Ergebnisse für die beiden anderen Variablen. (Ausprobieren, Rechnung und Fragen ggf. posten.)
Ein gutes verfahren ist auch dies, welches auf dem Additionsverfahren basiert:
Die erste Gleichung ist zunächst Deine Arbeitsgleichung, Du schreibst sie einfach hin:
> x + y - 3z = 5.
Nun subtrahierst Du Vielfache dieser Gleichung von der zweiten und dritten Gleichung so, daß die x verschwinden, also
2. Gleichung - 2*1. Gleichung:
3. Gleichung - 1.Gleichung.
Du hast jetzt drei Gleichungen.
Die ersten beiden schreibst Du hin,
dann subtrahierst Du von der dritten ein passendens Vielfaches der zweiten Gleichung so, daß das y verschwindet.
Damit hast Du z, Rückwärtseinsetzen ergibt die anderen beiden Variablen.
(Ggf. vorrechnen und Fragen stellen.)
Gruß v. Angela
P.S.:
Das zweite der beschriebenen Verfahren ist der Gaußalgorithmus, und ich sehe gerade erst, daß Du studierst - Du mußt Dich unbedingt damit vertraut machen, auch mit seiner Schreibweise als Matrix.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:34 Di 20.04.2010 | | Autor: | Yuppie |
Hallo.
Also dan Gauß kann ich. Ich kann auch das LGS lösen. Aber in der Aufgabenstellung geht es um einen Fehler, und den finde ich nicht. Ich habe das System normals mit Gauß gelöst. Vielleicht könntest du nochmal die Aufgabenstellung durch lesen Danke. Weil genau da liegt mein Problem ;) Mir sind allgemein die Begriffe noch nicht so klar in Bezug auf Elementarumformung. In der Schule haben wir es einfach gemacht.
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> Vielleicht könntest du nochmal die
> Aufgabenstellung durch lesen Danke. Weil genau da liegt
> mein Problem ;)
Hallo,
ich glaube, Du hast mindestens zwei Probleme...
S. meine Antwort unten.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Di 20.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
>
> x + y ! 3z = 5
> 2x ! 4y ! 11z = 1
> x + 13y ! 17z = 3
>
> Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, die
> dritte von der zweiten und
> ausserdem die erste von der dritten, so erhält man das
> System
> -x + 5 y + 8z = 4
> x - 17y + 6z = -2
> 12y - 14z = -2
> Das Tripel (9 ; 1; 1) löst das zweite Gleichungssystem,
> aber keine einzige Gleichung aus
> dem ersten, obwohl zur Umformung doch eigentlich nur
> Elementarumformungen verwendet wurden. Ist dies ein
> Gegenbeispiel? Wo liegt der Fehler?
> Ich finde absolut nicht den richtigen Ansatz. Ich habe das
> System durch gelöst und kam auf die Lösungsmenge:
>
> x= -29/6
> y= -1/6
> z=0
Bei einer Probe mit dieser Lösung erhält man aber in der ersten Zeile -30/6, also -5 und nicht 5.
Hast du vielleicht häufiger Vorzeichenprobleme beim Umformen?
Gruß Abakus
>
> aber was bringt mir das oder verstehe ich
> Elementarumformung falsch?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
>
> I. x + y - 3z = 5
> II. 2x - 4y - 11z = 1
> III. x + 13y - 17z = 3
>
> Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, die
> dritte von der zweiten und
> ausserdem die erste von der dritten, so erhält man das
> System
> -x + 5 y + 8z = 4
> x - 17y + 6z = -2
> 12y - 14z = -2
> Das Tripel (9 ; 1; 1) löst das zweite Gleichungssystem,
> aber keine einzige Gleichung aus
> dem ersten, obwohl zur Umformung doch eigentlich nur
> Elementarumformungen verwendet wurden. Ist dies ein
> Gegenbeispiel? Wo liegt der Fehler?
> Ich finde absolut nicht den richtigen Ansatz. Ich habe das
> System
Hallo,
an dieser Stelle zu sagen, welches GS gerade gelöst wird, wäre sicher kein Fehler - es hätte Dich dann abakus auch nicht verdächtigt, nicht mit Vorzeichen umgehen zu können....
Du hast also das zweite System gelöst, nicht wahr?
> durch gelöst und kam auf die Lösungsmenge:
>
> x= -29/6
> y= -1/6
> z=0
Nein. Das ist ein der Lösungen des Systems, aber es ist nicht die Lösungsmenge.
Das zweite GS hat die von Dir errechnete Lösung, ebenso die in der Aufgabenstellung angegebene, und noch viele andere.
Es ist nicht eindeutig lösbar - eigentlich hättest Du das beim Lösungsversuch merken sollen.
Du kannst Dich davon überzeugen, daß das erste GS genau eine Lösung hat, womit die beiden Systeme nicht äquivalent sind.
Daß sie nicht äquivalent sind, merkt man ja auch beim Einsetzen der von Dir errechneten und vorgegebenen Lösung.
Und nun sollst Du aufspüren, wie dies passieren konnte, da ja (vermeintlich) nur elementare Umformungen durchgeführt wurden.
Du kommst der Sache auf die Spur, wenn Du das jeweils nach den angegebenen Umformungen entstehende GS aufschreibst:
> Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten:
I'=I-II
II
III
> Subtrahiert man [...]die dritte von der zweiten
I'=I-II
II''=II-III
III
> Subtrahiert [...] ausserdem die erste von der dritten
???
Merkst Du nun, wo der Fehler ist, der gemacht wurde?
> aber was bringt mir das oder verstehe ich
> Elementarumformung falsch?
Seltsame Frage irgendwie...
Das Ermitteln einer Lösung eines Gleichungssystems "bringt Dir", daß Du eine Lösungs des Gleichungssystems kennst.
Ob Du die elementaren Umformungen falsch verstehst, kann ich Dir nicht sagen, weil Du nicht sagst, wie Du sie verstehst...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 21.04.2010 | | Autor: | ella87 |
Auch ich muss diese Aufgabe (vermutlich sogar für den selben Kurs) lösen.
Die Aufgabe davon besteht genau darin, Elementarumformungen zu beweisen ( https://vorhilfe.de/read?t=673151 ).
Der Fehler ist doch hier, dass zwar (vermeintlich) nur Elementarumformungen gemacht werden, die Gleichungen aber "mehrfach" verwendet werden. Korrekt wäre doch, wenn man eine Gleichung, die man als "Werkzeug" benutzt (also von einer anderen subtrahiert) dann unverändert in das neue System mit übernimmt, oder? [sonst hätte man ja keine elementarumformungen mehr] Der Fehler ist dann also, dass hier nicht Schritt für Schritt gearbeitet wird, sondern Gleichungen, die man im selben Schritt elementar umformt, im selben Schritt als Referenzgleichungen verwendet werden.
Kann man das so schreiben? Ein Beweis ist hier doch nicht gefragt, oder? Es geht doch nur um das Verständnis, oder?
Ein Kommentar dazu wäre nett =) Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo ella, yuppie
yuppie hat ganz einfach Fehler beim umformen gemacht, sein Ergebnis I-II ist (im ersten post) schon falsch.
der Satz den du beweisen willst, heisst auch: wenn man diese Umformungen fehlerfrei macht. Also einfach nochmal langsam von vorn:
x + y + 3z = 5
2x + 4y + 11z = 1
x + 13y + 17z = 3
Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten,
I-II: -x-3y-8z=4
yuppies Lösung:
-x + 5 y + 8z = 4
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Yuppie |
x + y - 3z = 5
2x - 4y - 11z = 1
x + 13y - 17z = 3
ist aber das LGS. Die lösung stand so in der Aufagbe also selbst wenn ich es nicht könnte ist das Blatt richtig ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Yuppie |
Also Ella ;)
das kann schon sein ich weiß ja nicht auf welcher Uni du bist ;)
Aber...
ich denke einfach das man das schon machen kann.. man spart sich einfach mehrere male das LGS zu schreiben. Ob ich zuerst die zweite von der ersten abziehe dann alles nochmal hin schreibe und dann wieder anfange ist ja eigentlich egal oder sehe ich das falsch?
Aber vielleicht nochmal die Aufgabe ganz genau hier damit man sie nach vollziehen kann ;):
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
x + y - 3z = 5
2x - 4y - 11z = 1
x + 13y - 17z = 3
Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, die dritte von der zweiten und
außerdem die erste von der dritten, so erhält man das System
-x + 5 y + 8z = 4
x - 17y + 6z = -2
12y - 14z = -2
Das Tripel (9 ; 1; 1) löst das zweite Gleichungssystem, aber keine einzige Gleichung aus
dem ersten, obwohl zur Umformung doch eigentlich nur Elementarumformungen verwendet wurden. Ist dies ein Gegenbeispiel? Wo liegt der Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Yuppie |
Okay Ella ich nehme alles zurück ;)
die ziehen da die erste nochmal ab obwohl sie schon verändert wurden ist ;)
Also du hast wohl recht ;)
Es war so einfach und doch so schwer ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ella hat schon recht: deine dritte umformung benutzt die "alte" erste Zeile, die hast du aber im ersten Schritt gendert. wenn du es also schön als elementar umformungen hinschreibst (was man erst danach natürlich abkürzen kann) hast du im ersten Schritt eine neue I, die anderen gleich.
also
I'
II
III
nächster Schritt auch noch richtig: II-III=II'
danach hast du
I'
II'
III
dieses GS hat noch dieselbe lösung wie das ursprüngliche.
eine Elementarumformung wäre jetzt: [mm] III-\alpha*I' [/mm] oder [mm] III-\beta*II'
[/mm]
was du machst ist aber III-I wobei es I gar nicht mehr gibt, aber du kannst rekonstruieren, was du machst:
da I=I'+II und II=II'+III also I=I'+II'+III
also deinIII'=III-I=III-(I'+II'+III)=-I'-I''
d.h. du hast III endgültig verloren, und damit natürlich viel mehr Lösungen als das ursprüngliche GS.
Gruss leduart
aber NICHT III-I da I ja gar nicht mehr zu dem GS gehört.
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