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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
ich habe die Eigenwerte und Eigenvektoren der obigen Matrix bestimmt, also:
A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
Habe jetzt 1 als doppelten EW und 4 raus. Wie kann ich denn jetzt die DGLs lösen anhand mit Hilfe der Eigenvektoren?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mikemodanoxxx,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi,
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> ich habe die Eigenwerte und Eigenvektoren der obigen Matrix
> bestimmt, also:
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> A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }[/mm]
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> Habe jetzt 1 als doppelten EW und 4 raus. Wie kann ich denn
> jetzt die DGLs lösen anhand mit Hilfe der Eigenvcektoren?
Bestimme zunächst die Eigenräume Kern[mm]\left(A-I\right)[/mm] und Kern[mm]\left(A-4I\right)[/mm].
Sind die Eigenvektoren zu Kern[mm]\left(A-I\right)[/mm] gegeben durch
[mm]\overrightarrow{e_{1}}, \ \overrightarrow{e_{2}}[/mm] und der Eigenvektor zu Kern[mm]\left(A-4I\right)[/mm] gegeben durch [mm]\overrightarrow{e_{3}}[/mm].
Dann ergibt sich die Lösung zu:
[mm]\overrightarrow{y}\left(t\right)=c_{1}*\overrightarrow{e_{1}}*e^{t}+c_{2}*\overrightarrow{e_{2}}*e^ {t}+c_{3}*\overrightarrow{e_{3}}*e^ {4t}[/mm]
Gruß
MathePower
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Hi.
Wie genau kommt denn das zu Stande? Wenn man im Vergleich dazu eine lineare homogene DGL betrachtet sieht man ja die Gemeinsamkeiten. Eigenwerte sind wie die Nullstellen des charakteristischen Polynoms usw. Allerdings ist lineare Algebra schon eine Weile her und darauf wäre ich jetzt nicht gekommen.
y(t)= [mm] c_{1}e^{t}\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] c_{2}te^{t}\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{3}e^{4t}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
wäre jetzt meine Lösung. Bei Aufgabe b soll nun diejenige Lösung bestimmt werden, die das AWP Problem y(0) = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 2} [/mm] löst. Wenn ich das in die DGL einsetze kommt bei mir aber folgendes raus:
[mm] c_{1}\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] c_{3}\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
und das System ist nicht lösbar. Was mache ich falsch? Außerdem bekomme ich auf diese Weise ja gar keine Lösung für die Variable [mm] c_{2}
[/mm]
Die EW und EV müssten stimmen, die habe ich auch in einen Eigenwertrechner eingegeben und da kam das gleiche raus.
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Hallo mikemodanoxxx!
Du löst die folgende Matrix mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus´
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2}
[/mm]
Wir subtrahieren die dritte Zeile von der zweiten und erhalten
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0}
[/mm]
Nun subtrahieren wir die zweite Zeile von der ersten. Es ergibt sich
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & -1 & 0}
[/mm]
Subtraktion des 2- fachen der dritten Zeile von der zweiten liefert
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & -3}
[/mm]
Im Zuge der Rückwärtssubstitution erhalten wir
[mm] c_{1}=c_{2}=c_{3}=1
[/mm]
Bezüglich der Lösung des Anfangswertproblems [mm] \vec{y}(0)= \vektor{-1 \\ 2 \\ 2} [/mm] erhalten wir also final
[mm] \vec{y}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}e^{4x}+\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}e^{x}+\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}e^{x}. [/mm]
Gruß, Marcel
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Hallo mikemodanoxxx,
> Hi.
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> Wie genau kommt denn das zu Stande? Wenn man im Vergleich
> dazu eine lineare homogene DGL betrachtet sieht man ja die
> Gemeinsamkeiten. Eigenwerte sind wie die Nullstellen des
> charakteristischen Polynoms usw. Allerdings ist lineare
> Algebra schon eine Weile her und darauf wäre ich jetzt
> nicht gekommen.
>
> y(t)= [mm]c_{1}e^{t}\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm] +
> [mm]c_{2}te^{t}\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + [mm]c_{3}e^{4t}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Nun, wie kommt man darauf:
Die obige Lösung gilt ja nur, wenn die Dimension des Eigenraums Kern[mm]\left(A-I\right)[/mm] gleich 1 ist.
Ist die Dimension des Eigenraums zu Kern[mm]\left(A-I\right)[/mm], wie hier, gleich 2, so gibt es zwei linear unabhängige Eigenvektoren und demzufolge auch die Lösung:
[mm]y(t)= c_{1}e^{t}\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} +
c_{2}e^{t}\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} + c_{3}e^{4t}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> wäre jetzt meine Lösung. Bei Aufgabe b soll nun diejenige
> Lösung bestimmt werden, die das AWP Problem y(0) =
> [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 2}[/mm] löst. Wenn ich das in die DGL
> einsetze kommt bei mir aber folgendes raus:
>
> [mm]c_{1}\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]c_{3}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
>
> und das System ist nicht lösbar. Was mache ich falsch?
> Außerdem bekomme ich auf diese Weise ja gar keine Lösung
> für die Variable [mm]c_{2}[/mm]
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> Die EW und EV müssten stimmen, die habe ich auch in einen
> Eigenwertrechner eingegeben und da kam das gleiche raus.
Gruß
MathePower
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War vielleicht etwas doof formuliert von mir. Mir ging es eher generell um die Frage, wieso man durch Eigenwerte und Eigenvektoren auf die Lösung der DGL schließen kann.
Aber danke, ich habe da irgendwie ein t in deiner Gleichung gelesen, war ein Flüchtigkeitsfehler.
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Hallo mikemodanoxxx,
> War vielleicht etwas doof formuliert von mir. Mir ging es
> eher generell um die Frage, wieso man durch Eigenwerte und
> Eigenvektoren auf die Lösung der DGL schließen kann.
In der Regel sucht man für das System
[mm]y'=Ay[/mm]
eine Matrix T, die das System in ein einfach zu lösendes System überführt.
Durch die Transformation [mm]y=T\tilde{y}[/mm] wird das System überführt in
[mm]\tilde{y}'=T^{-1}AT\tilde{y}[/mm]
Dies ist genau dann ein einfach zulösendes System, wenn T die Matrix aus Eigenvektoren ist.
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> Aber danke, ich habe da irgendwie ein t in deiner Gleichung
> gelesen, war ein Flüchtigkeitsfehler.
Gruß
MathePower
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