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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Do 26.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN, P_{n} [/mm] die Menge aller reellen Polynome vom Grad kleiner oder gleich n. Sind p,q [mm] \in P_{n}, [/mm] also:
p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}x^k
[/mm]
q(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} b_{k}x^k
[/mm]
x [mm] \in \IR [/mm] a,b [mm] \in \IR [/mm] geeignet (k [mm] \in [/mm] {0,1,...,n}
So seien p+q und [mm] \lambda [/mm] p definiert durch:
(p+q)(x) = p(x) + q(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} (a_{k} [/mm] + [mm] b_{k} [/mm] ) [mm] x^k
[/mm]
[mm] (\lambda [/mm] p)(x) = [mm] \lambda [/mm] p(x)
Damit ist auf [mm] P_{n} [/mm] die Struktur eines linearen Raumes über [mm] \IR [/mm] erklärt. |
Ich habe das obigen Beispiel aus einem Lehrbuch übernommen. (von Rainer Wüst)
Darunter steht in Klammern (Beweis?) Das ist aber keine direkte Aufgabe in diesem Buch, also gibt es auch keine Lösung, in der ich nachschauen könnte. Die Lösung würde mich aber dennoch interessieren.
Die Vorraussetzungen für einen linearen Raum sind mir bekannt. Jetzt ist es aber doch so, dass die Erfüllung dieser Vorraussetzungen bereits in den Definitionen enthalten sind.
Also Beispiel Kommutativität:
(p+q)(x) = p(x) + q(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} (a_{k} [/mm] + [mm] b_{k} [/mm] ) [mm] x^k
[/mm]
In der Summe stehen Skalare, also gilt die Addition für Skalare, und damit:
[mm] a_{k} [/mm] + [mm] b_{k} [/mm] = [mm] b_{k} [/mm] + [mm] a_{k}
[/mm]
So verhält es sich ja auch mit allen anderen Vorraussetzungen.
Muss man das für einen Beweis so aufschreiben? Reicht das so? (Also, wenn ich das so für alle Bedingungen machen würde?)
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Hi,
Ich schlage vor, zunächst zu zeigen, dass die Menge aller Polynome einen Vektorraum bildet, und dann zu zeigen, dass diese Menge hier einen Unterraum bildet.
Beides ist in der Tat trivial.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Do 26.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Zeige:
p,q [mm] \in P_n [/mm] und [mm] \lambda \in \IR \Rightarrow [/mm] p+q, [mm] \lambda*p \in P_n.
[/mm]
FRED
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