Lineare Unabhängigkeit zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Di 29.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo beisammen,
Wie kann ich die Lineare Unabhängigkeit folgender Vektoren zeigen???
v, f(v), ... , [mm] f^{n-1}(v)
[/mm]
Dazu weiß ich noch:
V sei ein n-dimensionaler Vektorraum über K. Sei f: V --> V eine lineare Abbildung und v [mm] \in [/mm] V ein Vektor mit [mm] f^{n}(v) [/mm] := (f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f )(v) = 0 (n-malige Verknüpfung) und [mm] f^{n-1}(v) \not= [/mm] 0.
Um die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, setze ich eine Linearkombination zu null an und zeige, dass alle [mm] \lambda_{i} \not= [/mm] 0 für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] sind.
Das dürfte wie folgt aussehen:
[mm] \lambda_{0} [/mm] v + [mm] \lambda_{2} [/mm] f(v) + ... + [mm] \lambda_{n-1} f^{n-1}(v) [/mm] = 0
Nach Vor. weiß ich, dass [mm] f^{n-1}(v) \not= [/mm] 0. Aber wie kann ich folgern, dass dies auch für alle Vektoren gilt??
Denn es muss ja gelten, dass die restlichen Vektoren auch nicht gleich null sind, sonst wären sie ja linear abhängig, da dann nicht alle [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0 wären.
Aber ich bekomme es einfach nicht auf die Reihe zu zeigen, dass die anderen Vektoren, sprich v, f(v),... [mm] f^{n-2} [/mm] ungleich null sind.
Kann ich die Linearität der Abbildung ausnutzen oder ?????????
Würde mich sehr über Hilfe freuen!!
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> Hallo beisammen,
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> Wie kann ich die Lineare Unabhängigkeit folgender Vektoren
> zeigen???
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> v, f(v), ... , [mm]f^{n-1}(v)[/mm]
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> Dazu weiß ich noch:
> V sei ein n-dimensionaler Vektorraum über K. Sei f: V --> V
> eine lineare Abbildung und v [mm]\in[/mm] V ein Vektor mit [mm]f^{n}(v)[/mm]
> := (f [mm]\circ[/mm] ... [mm]\circ[/mm] f )(v) = 0 (n-malige Verknüpfung) und
> [mm]f^{n-1}(v) \not=[/mm] 0.
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> Um die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, setze ich eine
> Linearkombination zu null an und zeige, dass alle
> [mm]\lambda_{i} \not=[/mm] 0 für alle [mm]\lambda \in \IR[/mm] sind.
> Das dürfte wie folgt aussehen:
> [mm]\lambda_{0}[/mm] v + [mm]\lambda_{2}[/mm] f(v) + ... + [mm]\lambda_{n-1} f^{n-1}(v)[/mm]
> = 0
Genau. Und hieraus mußt Du jetzt Deine Schlüsse ziehen, möglicherweise, nachdem Du kleine Manipulationen ausgeführt hast...
> Kann ich die Linearität der Abbildung ausnutzen oder
> ?????????
Du kannst, sollst und mußt das tun.
Weißt Du, was f(0) ist? Eine lineare Abbildung, angewendet auf den Nullvektor?
Jetzt mach mal folgendes: wende auf die rechte und linke Seite Deiner Gleichung [mm] f^{n-1}an. [/mm] Was folgt?
Auf das, was übrig bleibt, wendest Du [mm] f^{n-2} [/mm] an, daraus folgt...
Und immer so weiter, bis Du durch bist.
Gruß v. Angela
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> Nach Vor. weiß ich, dass [mm]f^{n-1}(v) \not=[/mm] 0. Aber wie kann
> ich folgern, dass dies auch für alle Vektoren gilt??
> Denn es muss ja gelten, dass die restlichen Vektoren auch
> nicht gleich null sind, sonst wären sie ja linear abhängig,
> da dann nicht alle [mm]\lambda_{i}[/mm] = 0 wären.
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> Aber ich bekomme es einfach nicht auf die Reihe zu zeigen,
> dass die anderen Vektoren, sprich v, f(v),... [mm]f^{n-2}[/mm]
> ungleich null sind.
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> Kann ich die Linearität der Abbildung ausnutzen oder
> ?????????
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> Würde mich sehr über Hilfe freuen!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Monschn |
hm.....
f(0) = 0 würde ich sagen. Die lineare Abbildung auf den Nullvektor angewendet, dürfte wieder Null geben.
Wie kann ich [mm] f^{n-1} [/mm] auf die rechte und linke Seite anwenden??
wäre das
[mm] f^{n-1}(\lambda_{0}v) [/mm] + [mm] f^{n-1}(\lambda_{1}f(v)) [/mm] + [mm] f^{n-1}(\lambda_{2}f^{2}(v)) [/mm] + ... + [mm] f^{n-1}(\lambda_{n-1}f^{n-1}(v)) [/mm] = [mm] f^{n-1}(0)
[/mm]
vereinfacht:
[mm] \lambda_{0}f^{n-1}(v) [/mm] + [mm] \lambda_{1} f^{n}(v) [/mm] + [mm] \lambda_{2}f^{n+1}(v) [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n-1}f^{2n-2} [/mm] = 0
Stimmt das so??
Ich weiß nicht genau, wie das mit dem "Anwenden" funktioniert.
Was bedeutet diese Manipulation in Worten? Was bringt mir das, bzw. zu welchem Ergebnis führt das??
Liebe Grüße,
Monschn
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> hm.....
>
> f(0) = 0 würde ich sagen. Die lineare Abbildung auf den
> Nullvektor angewendet, dürfte wieder Null geben.
Ja. (Weißt Du auch warum? Du solltest das wissen. Netter, winziger Beweis. Könnte ja mal jemand von Dir wissen wollen...)
Und es ist auch [mm] f^k(0)=0, [/mm] klar, nicht wahr? Das brauchen wir unten.
>
> Wie kann ich [mm]f^{n-1}[/mm] auf die rechte und linke Seite
> anwenden??
> wäre das
[mm] f^{n-1}( [/mm] linke Seite)=
> [mm]f^{n-1}(\lambda_{0}v)[/mm] + [mm]f^{n-1}(\lambda_{1}f(v))[/mm] +
> [mm]f^{n-1}(\lambda_{2}f^{2}(v))[/mm] + ... +
> [mm]f^{n-1}(\lambda_{n-1}f^{n-1}(v))[/mm] = [mm]f^{n-1}(0)[/mm]
Genau!
>
> vereinfacht:
>
> [mm]\lambda_{0}f^{n-1}(v)[/mm] + [mm]\lambda_{1} f^{n}(v)[/mm] +
> [mm]\lambda_{2}f^{n+1}(v)[/mm] + ... + [mm]\lambda_{n-1}f^{2n-2}[/mm] = 0
>
> Stimmt das so??
>
> Ich weiß nicht genau, wie das mit dem "Anwenden"
Du hast gut "angewendet". Jetzt schnippeln wir da ein bißchen herum:
0= [mm]\lambda_{0}f^{n-1}(v)[/mm] + [mm]\lambda_{1} f^{n}(v)[/mm] + [mm]\lambda_{2}f^{n+1}(v)[/mm] + ... + [mm]\lambda_{n-1}f^{2n-2}[/mm]
[mm] =\lambda_{0}f^{n-1}(v)+\lambda_{1}*0+\lambda_{2}f(f^{n}(v))+...+\lambda_{n-1}f^{n-2}(f^n(v))
[/mm]
[mm] =\lambda_{0}f^{n-1}(v)
[/mm]
[mm] f^{n-1}(v)\not=0, [/mm] also ist [mm] \lambda_{0}=0
[/mm]
>
> Was bedeutet diese Manipulation in Worten? Was bringt mir
> das, bzw. zu welchem Ergebnis führt das??
Von der ursprünglichen Gleichung bleibt also nur noch
[mm] 0=\lambda_1f(v)+\lambda_2f^2(v)+...+\lambda_{n-1}f^{n-1}(v)
[/mm]
Wende hierauf nun [mm] f^{n-2} [/mm] an... und immer so weiter.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo Angela!!
Hab vielen herzlichen Dank für deinen genialen Lösungsweg. Ich bin echt total begeistert. Wirklich genial.
Sag, wie kommt man nur auf so eine Idee, dass man [mm] f^{n-1} [/mm] anwendet, dann [mm] f^{n-2} [/mm] usw.???
Echt genial.
Herzlichen Dank und eine schöne Vorweihnachtszeit,
Monschn
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